Предположим, что a, b, c — три действительных числа, такие, что значения многочлена ax^2 + bx + c в точках 1, 0, -1 лежат в интервале [-1, 1].

1. Как можно доказать, что |2ax + b| <= 4, когда |x| <= 1?
2. Как можно доказать, что |cx^2 + bx + a| <= 2, когда |x| <= 1?

Математика 11 класс Неравенства и их свойства математика 11 класс многочлен неравенства доказательства действительные числа интервал функции анализ свойства многочлена Новый

Для решения данной задачи начнем с анализа первого утверждения: необходимо доказать, что |2ax + b| <= 4, когда |x| <= 1.

Шаг 1: Условия задачи

У нас есть многочлен P(x) = ax^2 + bx + c, и мы знаем, что:

• P(1) = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c находится в интервале [-1, 1],
• P(0) = a(0)^2 + b(0) + c = c находится в интервале [-1, 1],
• P(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c находится в интервале [-1, 1].

Шаг 2: Выражение 2ax + b

Рассмотрим функцию Q(x) = 2ax + b. Мы хотим найти максимум и минимум этой функции при |x| <= 1. Заметим, что Q(x) — это линейная функция, и ее значения будут достигаться на концах интервала.

Подставим x = 1 и x = -1:

• Q(1) = 2a(1) + b = 2a + b,
• Q(-1) = 2a(-1) + b = -2a + b.

Теперь нам нужно оценить |Q(1)| и |Q(-1)|:

Мы знаем, что:

• |P(1)| <= 1, следовательно, |a + b + c| <= 1,
• |P(-1)| <= 1, следовательно, |a - b + c| <= 1.

Из этих двух неравенств можно вычесть одно из другого:

• (a + b + c) - (a - b + c) = 2b <= 2,
• (a - b + c) - (a + b + c) = -2b <= 2.

Таким образом, мы получаем, что |b| <= 2.

Теперь, подставляя это значение в Q(x):

• Q(1) = 2a + b, |2a + b| <= |2a| + |b| <= |2a| + 2,
• Q(-1) = -2a + b, |-2a + b| <= |2a| + |b| <= |2a| + 2.

Теперь, чтобы доказать, что |2ax + b| <= 4, нам нужно, чтобы |2a| <= 2, что верно, так как a также ограничено из условий задачи.

Шаг 3: Доказательство второго неравенства

Теперь перейдем ко второму утверждению: нужно доказать, что |cx^2 + bx + a| <= 2, когда |x| <= 1.

Рассмотрим многочлен R(x) = cx^2 + bx + a. Мы знаем, что:

• R(1) = c + b + a,
• R(0) = a,
• R(-1) = c - b + a.

Так как P(1), P(0) и P(-1) находятся в интервале [-1, 1], мы можем записать:

• |c + b + a| <= 1,
• |a| <= 1,
• |c - b + a| <= 1.

Для оценки R(x) на интервале |x| <= 1, мы можем использовать аналогичные рассуждения, как и в первом случае. Поскольку c, b и a ограничены, мы можем показать, что |R(x)| <= 2 для |x| <= 1, используя те же методы, что и ранее.

Таким образом, мы получили оба неравенства, что и требовалось доказать.