При каких действительных значениях m остаток от деления многочлена P(x)=2x^3-x^2+mx+5 на многочлен Q(x)=x^2+1 равен 2x+6?

Математика 11 класс Остаточные теоремы и деление многочленов многочлен P(x) многочлен Q(x) остаток от деления значения m математика 11 класс Новый

Чтобы найти, при каких значениях m остаток от деления многочлена P(x) на многочлен Q(x) равен 2x + 6, начнем с того, что согласно теореме о делении многочленов, остаток от деления P(x) на Q(x) будет иметь вид R(x), где R(x) - это многочлен степени меньше, чем степень Q(x). В данном случае Q(x) имеет степень 2, следовательно, остаток R(x) может быть представлен в виде:

R(x) = ax + b

По условию задачи, мы знаем, что:

R(x) = 2x + 6

Это означает, что:

a = 2

b = 6

Теперь мы можем записать, что:

P(x) = Q(x) * D(x) + R(x)

где D(x) - это некоторый многочлен. Но нам не нужно его находить. Важно, что:

P(x) - R(x) = Q(x) * D(x)

Теперь подставим P(x) и R(x) в это уравнение:

(2x^3 - x^2 + mx + 5) - (2x + 6) = (x^2 + 1) * D(x)

Упростим левую часть уравнения:

2x^3 - x^2 + mx + 5 - 2x - 6 = 2x^3 - x^2 + (m - 2)x - 1

Теперь у нас есть:

2x^3 - x^2 + (m - 2)x - 1 = (x^2 + 1) * D(x)

Поскольку Q(x) имеет степень 2, D(x) должен быть многочленом степени 1. Пусть D(x) = kx + c, тогда:

(x^2 + 1)(kx + c) = kx^3 + cx^2 + kx + c

Теперь приравняем коэффициенты:

1. Коэффициент при x^3: k = 2
2. Коэффициент при x^2: c = -1
3. Коэффициент при x: k + (m - 2) = 0
4. Свободный член: c = -1

Из первого уравнения получаем:

k = 2

Из второго уравнения:

c = -1

Теперь подставим k в третье уравнение:

2 + (m - 2) = 0

Решим это уравнение:

m - 2 = -2

m = 0

Таким образом, действительное значение m, при котором остаток от деления многочлена P(x) на многочлен Q(x) равен 2x + 6, равно:

m = 0