При каких значениях a неравенство ах² + 4х + а + 3 < 0 выполняется для всех действительных х?

• a < -4
• a > 4
• a < 3

Математика 11 класс Неравенства и параметры неравенство математика значения a ах² + 4х + а + 3 действительные х условия неравенства Новый

Для того чтобы неравенство ax² + 4x + a + 3 < 0 выполнялось для всех действительных x, необходимо, чтобы квадратное выражение ax² + 4x + (a + 3) было отрицательным для всех x. Это возможно, если:

• Коэффициент при x² (то есть a) должен быть отрицательным, чтобы парабола "смотрела вниз".
• Дискриминант этого квадратного уравнения должен быть меньше нуля, чтобы у уравнения не было действительных корней.

Теперь давайте разберем эти условия более подробно:

1. Коэффициент a: Для того чтобы парабола "смотрела вниз", необходимо, чтобы a < 0.
2. Дискриминант: Дискриминант D выражения равен:
• D = b² - 4ac = 4² - 4 * a * (a + 3) = 16 - 4a(a + 3).
3. Теперь упростим это выражение:
• D = 16 - 4a² - 12a = 16 - 4a² - 12a.
4. Для того чтобы D < 0, решим неравенство:
• -4a² - 12a + 16 < 0.
• Умножим все части на -1 (не забывая поменять знак неравенства):
• 4a² + 12a - 16 > 0.
5. Теперь найдем корни квадратного уравнения 4a² + 12a - 16 = 0 с помощью формулы корней:
• a = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a.
• Здесь a = 4, b = 12, c = -16.
• Корни будут равны:
• a = (-12 ± √(12² - 4 * 4 * (-16))) / (2 * 4).
• a = (-12 ± √(144 + 256)) / 8.
• a = (-12 ± √400) / 8.
• a = (-12 ± 20) / 8.
6. Таким образом, корни:
• a1 = (8) / 8 = 1,
• a2 = (-32) / 8 = -4.
7. Теперь исследуем знак выражения 4a² + 12a - 16. Это парабола, которая открывается вверх. Она будет больше нуля вне интервала между корнями:
• a < -4 или a > 1.

Однако, так как мы также требуем, чтобы a < 0, то подходящим значением будет только a < -4.

Таким образом, неравенство ax² + 4x + a + 3 < 0 выполняется для всех действительных x, если a < -4.