Радиусы оснований усеченного конуса равны 2 см и 5 см, а угол осевого сечения составляет 135°. Как можно вычислить объем этого конуса?

Математика 11 класс Объем усеченного конуса усеченный конус объём усечённого конуса формула объема конуса радиусы конуса угол осевого сечения геометрия математика 11 класс Новый

Чтобы вычислить объем усеченного конуса, нам нужно использовать формулу для объема усеченного конуса:

V = (1/3) * π * h * (R^2 + R * r + r^2)

Где:

• V - объем усеченного конуса
• R - радиус верхнего основания (больший радиус)
• r - радиус нижнего основания (меньший радиус)
• h - высота усеченного конуса

В нашем случае:

• R = 5 см
• r = 2 см

Следующим шагом нам нужно найти высоту h усеченного конуса. Для этого воспользуемся углом осевого сечения, который равен 135°. Угол осевого сечения позволяет нам установить связь между высотой h и радиусами оснований.

Угол осевого сечения делит усеченный конус на два равных треугольника. Поскольку угол 135° является внешним углом, мы можем найти угол между высотой и основанием, который равен:

180° - 135° = 45°

Теперь мы можем использовать тригонометрию. В этом случае мы можем рассмотреть один из треугольников, образованных высотой и радиусами оснований:

С учетом того, что разница радиусов (R - r) составляет:

5 см - 2 см = 3 см

Теперь мы можем использовать тангенс угла 45° для нахождения высоты h:

tan(45°) = (R - r) / h

Так как tan(45°) = 1, у нас получается:

1 = 3 см / h

Отсюда мы можем выразить h:

h = 3 см

Теперь, имея все необходимые значения, мы можем подставить их в формулу объема:

V = (1/3) * π * 3 * (5^2 + 5 * 2 + 2^2)

Теперь посчитаем значения внутри скобок:

• 5^2 = 25
• 5 * 2 = 10
• 2^2 = 4

Теперь подставим эти значения:

V = (1/3) * π * 3 * (25 + 10 + 4)

Сложим числа в скобках:

V = (1/3) * π * 3 * 39

Упрощаем:

V = π * 39

Таким образом, объем усеченного конуса составляет:

V ≈ 122.52 см³ (при использовании π ≈ 3.14)

Итак, объем усеченного конуса равен примерно 122.52 см³.