Решите неравенство методом интервалов: (x^2 - 9x - 22)/(x + 5) > 0

Математика 11 класс Неравенства рациональных функций неравенство метод интервалов решение неравенства математика 11 класс дробное неравенство Новый

Для решения неравенства (x^2 - 9x - 22)/(x + 5) > 0 методом интервалов, следуем следующим шагам:

1. Найдем нули числителя и знаменателя.
• Числитель: x^2 - 9x - 22 = 0. Чтобы решить это квадратное уравнение, воспользуемся формулой корней:
• Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 * 1 * (-22) = 81 + 88 = 169.
• Корни уравнения: x1 = (9 + √169)/2 = (9 + 13)/2 = 11 и x2 = (9 - √169)/2 = (9 - 13)/2 = -2.
• Таким образом, нули числителя: x = 11 и x = -2.
• Знаменатель: x + 5 = 0. Отсюда x = -5.
2. Определим точки разбиения интервалов.
• У нас есть три ключевые точки: -5, -2 и 11.
3. Разобьем числовую ось на интервалы.
• Интервалы: (-∞, -5), (-5, -2), (-2, 11), (11, +∞).
4. Выберем тестовые точки для каждого интервала.
• Для интервала (-∞, -5) выберем x = -6.
• Для интервала (-5, -2) выберем x = -3.
• Для интервала (-2, 11) выберем x = 0.
• Для интервала (11, +∞) выберем x = 12.
5. Проверим знак выражения на каждом интервале.
• Для x = -6: (36 + 54 - 22)/( -6 + 5) = (68)/( -1) < 0.
• Для x = -3: (9 + 27 - 22)/( -3 + 5) = (14)/(2) > 0.
• Для x = 0: (0 - 0 - 22)/(0 + 5) = (-22)/(5) < 0.
• Для x = 12: (144 - 108 - 22)/(12 + 5) = (14)/(17) > 0.
6. Запишем результаты:
• (-∞, -5): знак отрицательный.
• (-5, -2): знак положительный.
• (-2, 11): знак отрицательный.
• (11, +∞): знак положительный.
7. Соберем интервалы с положительным знаком.
• Положительные интервалы: (-5, -2) и (11, +∞).

Таким образом, решение неравенства (x^2 - 9x - 22)/(x + 5) > 0 будет:

x ∈ (-5, -2) ∪ (11, +∞)