Решите пожалуйста уравнение с параметром!

1. При каком целом значении параметра a, один из корней уравнения в 3 раза больше другого: x^2-(a+2)x+(a+1)=0?
2. При каком значении параметра a, корни уравнения одинаковы и отрицательны: x^2-(a+3)x+(5-a)=0? Помогите пожалуйста!

Математика 11 класс Уравнения с параметром уравнение с параметром корни уравнения математика 11 класс решение уравнения параметры a уравнение x^2 задачи по математике алгебра 11 класс Новый

Давайте решим оба уравнения с параметрами по очереди.

Первое уравнение: x^2 - (a + 2)x + (a + 1) = 0

По условию, один из корней в 3 раза больше другого. Обозначим корни уравнения как x1 и x2, где x1 = 3x2. Мы знаем, что для квадратного уравнения сумма корней равна -b/a, а произведение корней равно c/a.

• Сумма корней: x1 + x2 = (a + 2)
• Произведение корней: x1 * x2 = (a + 1)

Подставляем x1 = 3x2 в уравнения:

• 3x2 + x2 = (a + 2)
  4x2 = (a + 2)
  x2 = (a + 2)/4
• 3x2 * x2 = (a + 1)
  3x2^2 = (a + 1)

Теперь подставим x2 в уравнение для произведения:

• 3 * ((a + 2)/4)^2 = (a + 1)
• 3 * ((a^2 + 4a + 4)/16) = (a + 1)
• (3a^2 + 12a + 12)/16 = (a + 1)

Умножим обе стороны на 16 для избавления от дроби:

• 3a^2 + 12a + 12 = 16a + 16
• 3a^2 - 4a - 4 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 * 3 * (-4) = 16 + 48 = 64

Корни уравнения:

• a1 = (4 + sqrt(64))/(2*3) = (4 + 8)/6 = 12/6 = 2
• a2 = (4 - sqrt(64))/(2*3) = (4 - 8)/6 = -4/6 = -2/3

Таким образом, целое значение параметра a, при котором один корень в 3 раза больше другого, равно a = 2.

Второе уравнение: x^2 - (a + 3)x + (5 - a) = 0

Здесь требуется, чтобы корни были одинаковыми и отрицательными. Для этого дискриминант должен быть равен нулю:

• D = b^2 - 4ac = (a + 3)^2 - 4 * 1 * (5 - a) = 0

Решим это уравнение:

• (a + 3)^2 - 4(5 - a) = 0
• (a + 3)^2 - 20 + 4a = 0
• a^2 + 6a + 9 - 20 + 4a = 0
• a^2 + 10a - 11 = 0

Теперь также найдем дискриминант:

• D = 10^2 - 4 * 1 * (-11) = 100 + 44 = 144

Корни уравнения:

• a1 = (-10 + sqrt(144))/(2*1) = (-10 + 12)/2 = 2/2 = 1
• a2 = (-10 - sqrt(144))/(2*1) = (-10 - 12)/2 = -22/2 = -11

Теперь проверим, какие из корней дают отрицательные значения:

• Если a = 1, то корни будут равны: x = (1 + 3)/2 = 2 (положительное).
• Если a = -11, то корни будут равны: x = (-11 + 3)/2 = -4 (отрицательное).

Таким образом, значение параметра a, при котором корни уравнения одинаковы и отрицательны, равно a = -11.

В итоге, мы получили:

• Для первого уравнения: a = 2
• Для второго уравнения: a = -11