Сколько целых положительных чисел, которые не превышают 1771, не являются делителями числа 1771, но имеют общий множитель с ним, превышающий 1?

Математика 11 класс Делимость и делители целые положительные числа делители числа 1771 общий множитель число 1771 математика 11 класс Новый

Для решения данной задачи нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем все по порядку.

Шаг 1: Найдем делители числа 1771.

Сначала мы найдем простые делители числа 1771. Для этого нам нужно разложить число на простые множители.

• Проверим делимость на 2: 1771 нечетное, значит, не делится.
• Проверим делимость на 3: сумма цифр 1 + 7 + 7 + 1 = 16, не делится на 3.
• Проверим делимость на 5: число не оканчивается на 0 или 5.
• Проверим делимость на 7: 1771 / 7 = 253, значит, 7 - делитель.
• Теперь найдем делители 253. Проверим на 11: 253 / 11 = 23, значит, 11 и 23 - делители.

Таким образом, 1771 = 7 * 11 * 23.

Шаг 2: Найдем количество делителей числа 1771.

Используя формулу для нахождения количества делителей по разложению на простые множители, мы имеем:

• 1771 = 7^1 * 11^1 * 23^1.

Количество делителей будет равно (1+1)(1+1)(1+1) = 2 * 2 * 2 = 8.

Шаг 3: Найдем все целые положительные числа, которые имеют общий делитель с 1771, превышающий 1.

Общий делитель с 1771 может быть 7, 11 или 23. Теперь найдем числа, которые делятся на эти простые множители.

• Числа, делящиеся на 7: 7, 14, 21, ..., 1771. Это арифметическая прогрессия с первым членом 7 и разностью 7. Количество таких чисел: 1771 / 7 = 253.
• Числа, делящиеся на 11: 11, 22, 33, ..., 1771. Это также арифметическая прогрессия. Количество таких чисел: 1771 / 11 = 161.
• Числа, делящиеся на 23: 23, 46, 69, ..., 1771. Количество таких чисел: 1771 / 23 = 77.

Шаг 4: Применим принцип включения-исключения.

Теперь нам нужно учесть пересечения, так как некоторые числа могут быть посчитаны несколько раз.

• Числа, делящиеся на 77 (7 * 11): 77, 154, ..., 1771. Количество: 1771 / 77 = 23.
• Числа, делящиеся на 161 (7 * 23): 161, 322, ..., 1771. Количество: 1771 / 161 = 11.
• Числа, делящиеся на 253 (11 * 23): 253, 506, ..., 1771. Количество: 1771 / 253 = 7.
• Числа, делящиеся на 1771 (7 * 11 * 23): только 1 число - 1771.

Шаг 5: Подсчитаем итоговое количество чисел.

Теперь применяем формулу включения-исключения:

Количество чисел = 253 + 161 + 77 - 23 - 11 - 7 + 1 = 451.

Шаг 6: Найдем количество целых положительных чисел, которые не являются делителями 1771.

Поскольку мы знаем, что всего целых положительных чисел от 1 до 1771 - это 1771 чисел, а делителей 1771 - 8, то:

Количество чисел, которые не являются делителями 1771 равно 1771 - 8 = 1763.

Шаг 7: Найдем количество чисел, которые не являются делителями, но имеют общий делитель с 1771.

Итак, искомое количество целых положительных чисел, которые не являются делителями 1771, но имеют общий делитель с ним, превышающий 1:

Количество = 451 - 8 = 443.

Ответ: 443.