Сократите дробь:

• числитель: x в степени 4 + 2x в степени 2 - 3
• знаменатель: x в степени 3 - 2x в степени 2 - x - 2

Математика 11 класс Рациональные дроби сократить дробь математика 11 класс алгебра дроби упрощение дробей Новый

Для сокращения дроби с заданными числителем и знаменателем, начнем с их разложения на множители. Рассмотрим каждый из них по отдельности.

1. Разложение числителя:

Числитель имеет вид:

x^4 + 2x^2 - 3.

Для разложения этого многочлена удобно сделать замену переменной. Обозначим:

y = x^2.

Тогда числитель примет вид:

y^2 + 2y - 3.

Теперь мы можем разложить этот квадратный трехчлен. Найдем корни уравнения:

y^2 + 2y - 3 = 0.

Для этого используем формулу корней квадратного уравнения:

y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a,

где a = 1, b = 2, c = -3.

Подставляя значения, получаем:

• Дискриминант: D = 2^2 - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16.
• Корни: y1 = (-2 + 4) / 2 = 1, y2 = (-2 - 4) / 2 = -3.

Таким образом, мы можем записать:

y^2 + 2y - 3 = (y - 1)(y + 3).

Подставляя обратно y = x^2, получаем:

x^4 + 2x^2 - 3 = (x^2 - 1)(x^2 + 3).

Далее, x^2 - 1 можно разложить как:

x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1).

Итак, числитель можно записать в виде:

(x - 1)(x + 1)(x^2 + 3).

2. Разложение знаменателя:

Теперь рассмотрим знаменатель:

x^3 - 2x^2 - x - 2.

Для разложения многочлена степени 3, часто полезно использовать метод группировки. Разобьем на две группы:

• (x^3 - 2x^2) + (-x - 2).

В первой группе можно вынести x^2:

x^2(x - 2) - 1(x + 2).

Теперь мы можем попробовать сгруппировать и разложить:

x^2(x - 2) - 1(x + 2) = (x^2 - 1)(x - 2).

Заметим, что x^2 - 1 можно разложить как (x - 1)(x + 1). Таким образом, знаменатель можно представить в виде:

(x - 1)(x + 1)(x - 2).

3. Сокращение дроби:

Теперь у нас есть:

• Числитель: (x - 1)(x + 1)(x^2 + 3),
• Знаменатель: (x - 1)(x + 1)(x - 2).

Мы можем сократить общие множители (x - 1) и (x + 1):

После сокращения остается:

(x^2 + 3) / (x - 2).

Итак, окончательный ответ:

Сокращенная дробь имеет вид:

(x^2 + 3) / (x - 2).