В колоде 36 карт. Берут 2 карты. Случайная величина X - это число тузов среди взятых карт. Как найти закон распределения X, математическое ожидание и дисперсию?

Математика 11 класс Комбинаторика и вероятности математика закон распределения случайная величина математическое ожидание дисперсия туз карты колода вероятность комбинаторика Новый

Привет! Давай разберем, как найти закон распределения случайной величины X, математическое ожидание и дисперсию для нашей задачи с картами.

Итак, у нас есть колода из 36 карт, среди которых 4 туза. Мы берем 2 карты, и случайная величина X - это количество тузов среди этих карт. X может принимать значения 0, 1 или 2. Давай посчитаем вероятность каждого из этих значений.

1. Закон распределения X:

• X = 0: Это значит, что мы не вытянули ни одного туза. Чтобы это произошло, мы должны взять 2 карты из 32 не тузов. Вероятность этого события:
• P(X = 0) = (32/36) * (31/35) = 992/1260 ≈ 0.7877
• X = 1: Здесь мы вытянули 1 туза и 1 карту не туза. Это можно сделать так:
• P(X = 1) = (4/36) * (32/35) + (32/36) * (4/35) = (4 * 32) / (36 * 35) * 2 = 256/1260 ≈ 0.2032
• X = 2: Мы вытянули 2 туза. Вероятность этого события:
• P(X = 2) = (4/36) * (3/35) = 12/1260 ≈ 0.0095

Теперь мы можем записать закон распределения X:

• P(X = 0) ≈ 0.7877
• P(X = 1) ≈ 0.2032
• P(X = 2) ≈ 0.0095

2. Математическое ожидание (E(X)):

Чтобы найти математическое ожидание, мы используем формулу:

• E(X) = Σ [x * P(X = x)

Подставляем значения:

• E(X) = 0 * P(X = 0) + 1 * P(X = 1) + 2 * P(X = 2)
• E(X) = 0 * 0.7877 + 1 * 0.2032 + 2 * 0.0095
• E(X) ≈ 0.2032 + 0.0190 = 0.2222

3. Дисперсия (D(X)):

Дисперсия находится по формуле:

• D(X) = E(X^2) - (E(X))^2

Сначала найдем E(X^2):

• E(X^2) = 0^2 * P(X = 0) + 1^2 * P(X = 1) + 2^2 * P(X = 2)
• E(X^2) = 0 + 0.2032 + 4 * 0.0095 = 0.2032 + 0.038 = 0.2412

Теперь подставляем в формулу для дисперсии:

• D(X) = 0.2412 - (0.2222)^2 ≈ 0.2412 - 0.0498 = 0.1914

Итак, вот что мы получили:

• Закон распределения X:
• P(X = 0) ≈ 0.7877
• P(X = 1) ≈ 0.2032
• P(X = 2) ≈ 0.0095
• Математическое ожидание E(X) ≈ 0.2222
• Дисперсия D(X) ≈ 0.1914

Надеюсь, это поможет тебе разобраться! Если будут вопросы, не стесняйся спрашивать!