2025-09-02 10:56:46
В окружность вписан квадрат. В круге наугад ставят точку. Какова вероятность того, что она попадает в квадрат?
Математика 11 класс Геометрическая вероятность вероятность попадания точки в квадрат квадрат вписан в окружность геометрическая вероятность круг и квадрат математика 11 класс задачи на вероятность
2025-09-02 10:56:55
Чтобы решить эту задачу, нам нужно рассмотреть соотношение площадей квадрата и круга, так как вероятность попадания точки в квадрат будет равна отношению площади квадрата к площади круга.
Предположим, что квадрат вписан в круг. Это означает, что все вершины квадрата касаются окружности. Обозначим радиус круга как R.
- Площадь круга вычисляется по формуле:
- Площадь круга = πR²
- Теперь найдем сторону квадрата. Если квадрат вписан в круг, то его диагональ равна диаметру круга. Диаметр круга равен 2R.
- Сторона квадрата (a) и его диагональ (d) связаны следующим образом:
- d = a√2
- Таким образом, a√2 = 2R, откуда a = 2R/√2 = R√2.
- Теперь мы можем найти площадь квадрата:
- Площадь квадрата = a² = (R√2)² = 2R².
Теперь у нас есть площади и мы можем найти вероятность:
- Вероятность (P) попадания точки в квадрат:
- P = Площадь квадрата / Площадь круга = (2R²) / (πR²) = 2/π.
Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка в круге попадет в квадрат, равна 2/π.