В правильной треугольной пирамиде, где все ребра равны и медиана основания составляет 6, какова площадь полной поверхности этой пирамиды?

Математика 11 класс Площадь поверхности многогранников правильная треугольная пирамида площадь полной поверхности медиана основания математические задачи геометрия 11 класс равные ребра формулы для площади решение задач по математике Новый

Чтобы найти площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды, где все ребра равны и медиана основания составляет 6, нам нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найдем сторону основания треугольной пирамиды.

Пусть ABC - основание пирамиды, и M - середина стороны AB. Тогда медиана AM делит треугольник ABC на два равнобедренных треугольника. Поскольку AM - медиана, она делит основание на два равных отрезка, то есть:

• AM = 6 (дано)
• AB = 2 * AM = 2 * 6 = 12

Шаг 2: Найдем высоту треугольника ABC.

Треугольник ABC равносторонний, и мы можем использовать формулу для нахождения высоты равностороннего треугольника:

• h = (sqrt(3) / 2) * AB
• h = (sqrt(3) / 2) * 12 = 6 * sqrt(3)

Шаг 3: Найдем площадь основания треугольной пирамиды.

Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле:

• S = (sqrt(3) / 4) * AB^2
• S = (sqrt(3) / 4) * 12^2 = (sqrt(3) / 4) * 144 = 36 * sqrt(3)

Шаг 4: Найдем высоту пирамиды.

Поскольку все ребра равны, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения высоты пирамиды. Обозначим высоту пирамиды как h_p. В треугольнике AMO (где O - вершина пирамиды), мы знаем:

• AO = AB = 12
• AM = 6

По теореме Пифагора:

• AO^2 = AM^2 + h_p^2
• 12^2 = 6^2 + h_p^2
• 144 = 36 + h_p^2
• h_p^2 = 144 - 36 = 108
• h_p = sqrt(108) = 6 * sqrt(3)

Шаг 5: Найдем площадь боковой поверхности пирамиды.

Площадь боковой поверхности равносторонней пирамиды равна сумме площадей всех треугольников, образованных боковыми гранями. Площадь одного треугольника:

• S_b = (1/2) * основание * высота
• где основание = AB = 12, а высота = h_p = 6 * sqrt(3)

Площадь одного бокового треугольника:

• S_b = (1/2) * 12 * (6 * sqrt(3)) = 36 * sqrt(3)

Так как у нас 3 боковых треугольника:

• S_total_b = 3 * S_b = 3 * (36 * sqrt(3)) = 108 * sqrt(3)

Шаг 6: Найдем полную площадь поверхности пирамиды.

Полная площадь поверхности пирамиды равна площади основания плюс площадь боковой поверхности:

• S_total = S + S_total_b
• S_total = 36 * sqrt(3) + 108 * sqrt(3) = 144 * sqrt(3)

Ответ: Площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды составляет 144 * sqrt(3).