Похожие вопросы
2025-09-16 02:46:48
Вычислите предел, обязательно укажите неопределенность какого вида и используйте правило Лопиталя:
lim (x → 0+) (1/x) * ∫(0 to x) √[4]{16 + t²} dt
Математика 11 класс Пределы и производные предел правило Лопиталя неопределенность интеграл математика 11 класс Новый
2025-09-16 02:46:56
Давайте вычислим предел:
lim (x → 0+) (1/x) * ∫(0 to x) √[4]{16 + t²} dt
Сначала определим, какую неопределенность мы имеем при подстановке x = 0. Подставим x = 0:
- При x = 0, выражение (1/x) становится бесконечностью (∞).
- Интеграл ∫(0 to x) √[4]{16 + t²} dt при x = 0 равен 0.
Таким образом, мы имеем форму ∞ * 0, что является неопределенностью. Чтобы решить эту неопределенность, перепишем предел в более удобной форме:
lim (x → 0+) (1/x) * ∫(0 to x) √[4]{16 + t²} dt = lim (x → 0+) ∫(0 to x) √[4]{16 + t²} dt / x
Теперь у нас есть форма 0/0, что позволяет применить правило Лопиталя. Применим его, взяв производные числителя и знаменателя:
- Числитель: Нужно найти производную от ∫(0 to x) √[4]{16 + t²} dt по x. По теореме о производной интеграла получаем:
- d/dx ∫(0 to x) √[4]{16 + t²} dt = √[4]{16 + x²}
- Знаменатель: Производная от x равна 1.
Теперь можем записать новый предел:
lim (x → 0+) √[4]{16 + x²}
Теперь подставим x = 0:
√[4]{16 + 0²} = √[4]{16} = 2
Таким образом, предел равен 2. Ответ:
Ответ: 2