Для вычисления данного тройного интеграла начнем с анализа области интегрирования T. Условия, которые определяют область T, задают треугольную призму в трехмерном пространстве:

• x + y + z = 1 — это плоскость, которая пересекает оси координат в точках (1,0,0), (0,1,0) и (0,0,1).
• z = 0 — это плоскость, которая является основанием нашей призмы.
• x = 0 и y = 0 — это координатные плоскости, которые ограничивают область T.

Таким образом, область T ограничена:

• вдоль оси x от 0 до 1;
• вдоль оси y от 0 до 1 - x (так как y зависит от x, чтобы удовлетворить условию x + y + z = 1);
• вдоль оси z от 0 до 1 - x - y.

Теперь можем записать тройной интеграл в виде:

∭_T 1/(x + y + z - 2)^3 dxdydz = ∫∫∫_T 1/(x + y + z - 2)^3 dz dy dx.

Заменим z на 1 - x - y, так как z ограничен этой функцией:

∭_T 1/(x + y + (1 - x - y) - 2)^3 dz dy dx = ∭_T 1/(1 - 2)^3 dxdydz = ∭_T 1/(-1)^3 dxdydz.

Теперь мы видим, что интеграл становится:

∭_T -1 dxdydz.

Теперь найдем объем области T, чтобы вычислить интеграл:

Объем V области T можно вычислить по формуле:

V = ∫_0^1 ∫_0^(1-x) ∫_0^(1-x-y) dz dy dx.

Вычислим внутренний интеграл по z:

∫_0^(1-x-y) dz = (1 - x - y) - 0 = 1 - x - y.

Теперь подставим это значение во внешний интеграл:

V = ∫_0^1 ∫_0^(1-x) (1 - x - y) dy dx.

Теперь вычислим интеграл по y:

∫_0^(1-x) (1 - x - y) dy = [ (1 - x)y - (y^2)/2 ]_0^(1-x) = (1 - x)(1 - x) - (1 - x)^2/2.

Это упрощается до:

(1 - x)^2 - (1/2)(1 - x)^2 = (1/2)(1 - x)^2.

Теперь подставим это значение в интеграл по x:

V = ∫_0^1 (1/2)(1 - x)^2 dx.

Вычислим этот интеграл:

(1/2) * [ (1 - x)^3 / -3 ]_0^1 = (1/2) * [0 - (-1/3)] = (1/2) * (1/3) = 1/6.

Таким образом, объем области T равен 1/6.

Теперь вернемся к нашему интегралу:

∭_T -1 dxdydz = -V = -1/6.

Итак, окончательный ответ:

Ответ: -1/6.