Вариант 1. Решение.

1. Дано A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Составьте множество B, состоящее из трёх элементов, если известно, что B ⊂ A.

1. Подсказка: B должно содержать только элементы из множества A и иметь ровно 3 элемента.
2. Например, можно выбрать B = {1, 2, 3}. Это множество состоит из трёх элементов и каждый элемент принадлежит A, значит B ⊂ A.
3. Также возможны другие варианты, например B = {2, 4, 6} или B = {3, 5, 6} — любые 3 различных элемента из A подойдут.

2. Даны множества P = {1, 2, 4, 7} и Q = {1, 3, 7}. Найдите:

1. Q ∪ P (объединение): нужно взять все элементы, которые есть в P или в Q (без повторов).
   • P = {1,2,4,7}
   • Q = {1,3,7}
   • Q ∪ P = {1,2,3,4,7}.
2. Q ∩ P (пересечение): нужно взять только те элементы, которые есть и в P, и в Q.
   • Общие элементы: 1 и 7.
   • Q ∩ P = {1,7}.

Покажем на «диаграмме Эйлера–Венна» (словесно и с числами в областях):

1. Пересечение (Q ∩ P): в центре двух пересекающихся кругов пишем числа, которые принадлежат обоим множествам: {1,7}.
2. Объединение (Q ∪ P): в левую непересекающуюся часть круга P пишем элементы, которые есть только в P (это 2 и 4), в правую непересекающуюся часть круга Q — элементы только в Q (это 3), в общую часть — {1,7}. Тогда все элементы объединения: 2,4,1,7,3, то есть {1,2,3,4,7}.

3. Задача про дне здоровья. Всего учащихся 130. 77 участвовали в марафоне. 25 участвовали и в марафоне, и в командных играх. Найти число учащихся, которые участвовали только в командных играх. (Полагаем, что каждый ученик участвовал хотя бы в одном из двух мероприятий.)

1. Сначала найдём, сколько участвовали только в марафоне: это те, кто в марафоне, но не в командных играх.
   • Тогда только марафон = 77 − 25 = 52.
2. Обозначим только командные игры = x. По правилу суммы для двух множеств (если каждый участвовал хотя бы в одном):
3. Всего = только марафон + только командные + и в тех, и в тех:
   • 130 = 52 + x + 25.
   • Решаем: x = 130 − 52 − 25 = 53.
4. Проверка: 52 (только марафон) + 25 (оба) + 53 (только команды) = 130. Всё сходится.

Ответы:

• Пример множества B: {1,2,3} (любой выбор трёх элементов из A допустим).
• Q ∪ P = {1,2,3,4,7}.
• Q ∩ P = {1,7}.
• Количество учащихся, которые участвовали только в командных играх: 53.