Чтобы решить неравенство (x + 3)(x - 7) < 0, давайте следовать пошагово.

Сначала определим, при каких значениях x произведение (x + 3)(x - 7) равно нулю. Это происходит, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Мы решим два уравнения:

• x + 3 = 0 → x = -3
• x - 7 = 0 → x = 7

Таким образом, нули функции — это x = -3 и x = 7.

Теперь мы можем разделить числовую ось на три интервала, используя найденные нули:

• Интервал 1: (-∞, -3)
• Интервал 2: (-3, 7)
• Интервал 3: (7, +∞)

Теперь нужно выбрать тестовые точки из каждого интервала и подставить их в неравенство (x + 3)(x - 7),чтобы определить знак произведения.

1. Для интервала (-∞, -3) возьмем точку x = -4:
• (-4 + 3)(-4 - 7) = (-1)(-11) = 11 > 0
2. Для интервала (-3, 7) возьмем точку x = 0:
• (0 + 3)(0 - 7) = (3)(-7) = -21 < 0
3. Для интервала (7, +∞) возьмем точку x = 8:
• (8 + 3)(8 - 7) = (11)(1) = 11 > 0

Теперь мы знаем, что:

• В интервале (-∞, -3) произведение положительное.
• В интервале (-3, 7) произведение отрицательное.
• В интервале (7, +∞) произведение положительное.

Поскольку мы ищем, где (x + 3)(x - 7) < 0, нас интересует только интервал (-3, 7).

Таким образом, решение неравенства (x + 3)(x - 7) < 0:

x ∈ (-3, 7)