Чтобы найти длину отрезка КН в равностороннем треугольнике ABC со стороной 5, начнем с вычисления высоты треугольника. Высота равностороннего треугольника может быть найдена по формуле:

h = (a * √3) / 2

где a - длина стороны треугольника. В нашем случае a = 5.

Подставим значение:

h = (5 * √3) / 2

Теперь вычислим это значение:

h = 5√3 / 2

Теперь, зная, что высота AH равна 5√3 / 2, мы можем найти длины отрезков AK и KH. Из условия задачи известно, что AK:AH = 2:3.

Обозначим длину отрезка AK как 2x, тогда AH будет равен 3x. Поскольку AH = 5√3 / 2, можем записать:

2x + KH = AH

Теперь подставим значение AH:

2x + KH = 5√3 / 2

Так как AK = 2x, то:

KH = AH - AK = (5√3 / 2) - 2x

Мы знаем, что 3x = 5√3 / 2, следовательно:

x = (5√3 / 2) / 3 = 5√3 / 6

Теперь подставим значение x в AK:

AK = 2x = 2 * (5√3 / 6) = 5√3 / 3

Теперь найдем KH:

KH = AH - AK = (5√3 / 2) - (5√3 / 3)

Для удобства найдем общий знаменатель:

KH = (15√3 / 6) - (10√3 / 6) = 5√3 / 6

Таким образом, длина отрезка KH равна 5√3 / 6.

Теперь, в соответствии с заданием, нам нужно выбрать верный вариант ответа. Если в вариантах ответов есть 5√3 / 6, то это и будет правильным ответом. Если же варианты указаны в числовом виде, то можно округлить значение или вычислить его приближенное значение.

Пожалуйста, проверьте предложенные варианты ответов и выберите правильный.