Докажите, что выражение 32 - 8x (x - 4)(x + 4) неотрицательно при любом значении x.

Математика 7 класс Неравенства математика 7 класс неотрицательное выражение доказательство 32 - 8x (x - 4)(x + 4) неотрицательность алгебра функции неравенства математический анализ Новый

Давайте докажем, что выражение 32 - 8x(x - 4)(x + 4) неотрицательно при любом значении x. Для этого мы разложим его и упростим.

1. Начнем с выражения (x - 4)(x + 4). Это разность квадратов, которая упрощается до x² - 16.
2. Подставим это в исходное выражение: 32 - 8x(x² - 16).
3. Раскроем скобки: 32 - 8x * x² + 8x * 16.
4. Упростим: 32 - 8x³ + 128x.
5. Теперь у нас есть кубическое уравнение: -8x³ + 128x + 32.
6. Для анализа поведения этого уравнения, заметим, что оно является кубической функцией с отрицательным старшим коэффициентом, что говорит о том, что график функции падает при больших значениях x, и растет при больших отрицательных значениях x.
7. Исследуем критические точки функции, найдя производную: f'(x) = -24x² + 128.
8. Найдем нули производной, решив уравнение: -24x² + 128 = 0.
9. Упростим: 24x² = 128, отсюда x² = 128 / 24 = 16 / 3, и x = ±√(16/3).
10. Теперь исследуем знаки производной на интервалах, определяемых этими критическими точками, чтобы понять, где функция возрастает и убывает.
11. Например, для x > √(16/3) и x < -√(16/3), производная отрицательна, функция убывает. Для -√(16/3) < x < √(16/3), производная положительна, функция возрастает.
12. Таким образом, функция достигает минимального значения в точках x = ±√(16/3).
13. Подставим эти значения в исходную функцию, чтобы найти минимальные значения:
• Для x = √(16/3) и x = -√(16/3), подставьте в -8x³ + 128x + 32 и убедитесь, что значения неотрицательны.

Таким образом, в результате анализа мы видим, что функция неотрицательна на всех интервалах, и минимальные значения в критических точках также неотрицательны. Следовательно, выражение 32 - 8x(x - 4)(x + 4) неотрицательно при любом значении x.