Как можно доказать, что сумма любого положительного числа и его обратного числа не меньше 2?

Математика 7 класс Неравенства и свойства чисел доказательство суммы положительного числа сумма и обратное число математические свойства не меньше 2 свойства чисел Новый

Давайте разберем, как можно доказать, что сумма любого положительного числа и его обратного числа не меньше 2. Обозначим положительное число как x. Его обратное число будет равно 1/x. Мы хотим доказать, что:

x + 1/x ≥ 2

Для начала, мы можем воспользоваться неравенством, известным как неравенство Коши-Буняковского. Мы его применим к двум положительным числам: x и 1. Это неравенство гласит, что для любых положительных чисел a и b выполняется следующее:

(a + b)² ≥ 4ab

В нашем случае возьмем a = x и b = 1/x. Подставим эти значения в неравенство:

1. Сначала найдем a + b: x + 1/x.
2. Теперь найдем 4ab: 4 * x * (1/x) = 4.

Таким образом, мы получаем:

(x + 1/x)² ≥ 4

Теперь извлечем квадратный корень из обеих сторон неравенства:

x + 1/x ≥ 2 (так как x и 1/x положительные числа, то мы можем не менять знак неравенства).

Таким образом, мы доказали, что сумма любого положительного числа и его обратного числа не меньше 2:

x + 1/x ≥ 2

Это завершает наше доказательство.