Чтобы найти все натуральные числа, которые в 5 раз больше суммы своих цифр, давайте обозначим натуральное число как N. Пусть S(N) - это сумма цифр числа N.

Согласно условию, мы имеем равенство:

N = 5 * S(N)

Теперь давайте разберемся, как мы можем искать такие числа. Начнем с анализа:

1. Определим пределы для N: Поскольку N - натуральное число, оно должно быть больше 0. Также сумма цифр числа не может быть больше самого числа. Например, если N состоит из k цифр, то максимальная сумма его цифр не может превышать 9k. Таким образом, мы можем записать неравенство:
2. N = 5 * S(N) ≤ 5 * 9k = 45k

Это означает, что число N должно быть меньше или равно 45k. Теперь давайте проанализируем количество цифр в числе N:

• Если N - однозначное число (1-9), то S(N) = N, и равенство не выполняется.
• Если N - двузначное число (10-99), то S(N) может быть от 1 до 18. Значит, 10 ≤ N ≤ 90.
• Если N - трехзначное число (100-999), то S(N) может быть от 1 до 27. Значит, 100 ≤ N ≤ 135.

Таким образом, мы можем рассмотреть числа с 2 и 3 цифрами.

Теперь давайте проверим двузначные числа:

1. Обозначим двузначное число как 10a + b, где a - это десятки, а b - единицы.
2. Сумма цифр: S(N) = a + b.
3. Подставляем в уравнение: 10a + b = 5 * (a + b).
4. Раскроем скобки: 10a + b = 5a + 5b.
5. Переносим все на одну сторону: 10a + b - 5a - 5b = 0.
6. Упрощаем: 5a - 4b = 0, или 5a = 4b.
7. Из этого уравнения следует, что b = (5/4)a. Поскольку a и b - натуральные числа, a должно быть кратно 4.

Проверим возможные значения a:

• a = 4: b = 5 (число 45)
• a = 8: b = 10 (не подходит, так как b не может быть 10)

Таким образом, единственным двузначным числом, которое удовлетворяет условию, является 45.

Теперь проверим трехзначные числа:

1. Обозначим трехзначное число как 100a + 10b + c.
2. Сумма цифр: S(N) = a + b + c.
3. Подставляем в уравнение: 100a + 10b + c = 5 * (a + b + c).
4. Раскроем скобки: 100a + 10b + c = 5a + 5b + 5c.
5. Переносим все на одну сторону: 100a + 10b + c - 5a - 5b - 5c = 0.
6. Упрощаем: 95a + 5b - 4c = 0.

Из этого уравнения следует, что 4c = 95a + 5b. Поскольку c должно быть натуральным числом, подберем значения a и b, чтобы c оставалось в пределах от 0 до 9.

После проверки всех возможных комбинаций a, b и c для трехзначных чисел, мы можем увидеть, что никаких дополнительных решений не найдено.

Таким образом, единственным натуральным числом, которое в 5 раз больше суммы своих цифр, является число 45.