Как решить неравенство 7/m + m/7 ≥ 2, где / обозначает деление?

Математика 7 класс Неравенства неравенство решение неравенства математика 7 класс деление алгебра неравенства с дробями Новый

Чтобы решить неравенство 7/m + m/7 ≥ 2, давайте следовать пошагово:

1. Приведем левую часть неравенства к общему знаменателю.

   Общий знаменатель для дробей 7/m и m/7 будет равен 7m. Теперь перепишем каждую дробь:

   • 7/m станет (7 * 7)/(m * 7) = 49/7m
   • m/7 станет (m * m)/(7 * m) = m^2/7m

   Сложим дроби:

   49/7m + m^2/7m = (49 + m^2)/7m
2. Теперь подставим это выражение в неравенство:

   (49 + m^2)/7m ≥ 2

3. Умножим обе стороны на 7m.

   Обратите внимание, что при умножении на 7m необходимо учитывать, что m не должно быть равным нулю, и знак неравенства может измениться, если m отрицательно. Поэтому сначала рассмотрим случай, когда m > 0:

   (49 + m^2) ≥ 14m

4. Переносим все в одну сторону:

   m^2 - 14m + 49 ≥ 0

5. Решим квадратное неравенство.

   Сначала найдем корни соответствующего уравнения:

   m^2 - 14m + 49 = 0

   Используем дискриминант:

   D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 * 1 * 49 = 196 - 196 = 0

   Так как D = 0, у нас есть один корень:

   m = 14/2 = 7
6. Теперь определим знак выражения m^2 - 14m + 49.

   Так как это квадратный трёхчлен с положительным коэффициентом перед m^2, он принимает положительные значения вне корней. Таким образом, он будет больше или равен нулю при:

   m ≤ 7 или m ≥ 7.
7. Теперь рассмотрим случай, когда m < 0:

   При этом случае, когда мы умножаем на 7m, знак неравенства изменится:

   (49 + m^2) ≤ 14m

   После аналогичных преобразований мы получим:

   m^2 - 14m + 49 ≤ 0

   Однако, так как у нас есть только один корень (m = 7), то это неравенство не имеет решений для m < 0.

Таким образом, итоговое решение неравенства:

m ≥ 7

Итак, ответ: m ≥ 7.