Для решения уравнения √(1-x) = 3x + 1 мы будем следовать нескольким шагам. Давайте разберем процесс подробно.

Сначала определим, при каких значениях x выражение под корнем будет неотрицательным. Поскольку под корнем у нас стоит (1-x), это выражение должно быть больше или равно нулю:

• 1 - x ≥ 0

Решим это неравенство:

• -x ≥ -1
• x ≤ 1

Таким образом, x должен быть меньше или равен 1.

Теперь, когда мы знаем, что x ≤ 1, можем избавиться от корня, возведя обе стороны уравнения в квадрат:

• (√(1-x))² = (3x + 1)²

Это даст нам:

• 1 - x = (3x + 1)(3x + 1)

Теперь раскроем правую часть:

• 1 - x = 9x² + 6x + 1

Теперь перенесем все члены в одну сторону уравнения, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

• 0 = 9x² + 6x + 1 + x - 1
• 0 = 9x² + 7x

Это уравнение можно упростить:

• 9x² + 7x = 0

Теперь мы можем вынести общий множитель:

• x(9x + 7) = 0

Теперь у нас есть два множителя, которые мы можем приравнять к нулю:

• x = 0
• 9x + 7 = 0

Решим второе уравнение:

• 9x = -7
• x = -7/9

Теперь у нас есть два корня: x = 0 и x = -7/9. Проверим, удовлетворяют ли они исходному уравнению:

• Для x = 0: √(1-0) = 1 и 3*0 + 1 = 1. Уравнение выполняется.
• Для x = -7/9: √(1 - (-7/9)) = √(1 + 7/9) = √(16/9) = 4/3 и 3*(-7/9) + 1 = -7/3 + 3/3 = -4/3. Уравнение не выполняется.

Таким образом, единственный корень уравнения √(1-x) = 3x + 1 это:

• x = 0