Чтобы увеличить площадь квадратного танцевального поля вдвое, сохранив при этом расположение всех четырех вышек на месте, владелец может воспользоваться геометрическим методом. Давайте разберем шаги решения:

1. Определение текущей площади:

   Пусть сторона текущего квадратного танцевального поля равна a. Тогда его площадь будет равна a².

2. Целевая площадь:

   Чтобы увеличить площадь вдвое, нам нужно получить новую площадь, равную 2a².

3. Новая длина стороны:

   Новая сторона квадрата, площадь которого равна 2a², будет равна корню из этой площади. То есть, новая сторона будет равна √(2a²) = a√2.

4. Построение нового квадрата:

   Чтобы сохранить вышки на месте, можно повернуть квадрат на 45 градусов относительно его центра. Таким образом, диагонали нового квадрата будут совпадать с диагоналями старого квадрата.

5. Проверка расположения вышек:

   При таком построении все четыре вышки останутся на своих местах, так как они будут находиться на концах диагоналей нового квадрата.

Таким образом, владелец может увеличить площадь танцевального поля вдвое, повернув квадрат на 45 градусов, не перемещая вышки. Это решение позволяет сохранить все вышки на своих местах и при этом достичь увеличения площади.