Чтобы определить, какое из данных выражений имеет нечетное значение при натуральном n, давайте проанализируем каждое из них.

• A) 2n²

Это выражение всегда четное, так как 2 умножается на n² (которое также четное или нечетное, но 2 делает результат четным).

• B) n² + 1

Здесь важно учесть, что n² будет четным, если n - четное, и нечетным, если n - нечетное. Поэтому:

• Если n - четное, n² - четное, следовательно, n² + 1 - нечетное.
• Если n - нечетное, n² - нечетное, следовательно, n² + 1 - четное.

Таким образом, это выражение может быть нечетным, если n четное.

• C) n² - 1

Аналогично, n² - 1 будет:

• Если n - четное, n² - четное, следовательно, n² - 1 - нечетное.
• Если n - нечетное, n² - нечетное, следовательно, n² - 1 - четное.

Это выражение может быть нечетным, если n четное.

• D) 2n² + 3

Здесь 2n² - четное число, и прибавив 3 (нечетное), мы получаем нечетное значение. Это выражение всегда нечетное.

• E) 2n² + 2

Это выражение также будет четным, так как 2n² - четное, и 2 - четное, следовательно, сумма их также четная.

Теперь подытожим:

• A) четное
• B) может быть нечетным
• C) может быть нечетным
• D) всегда нечетное
• E) четное

Ответ: Выражение D) 2n² + 3 всегда имеет нечетное значение при любом натуральном n.