Конечно, давайте разберем эту задачу шаг за шагом.

Итак, у нас есть куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Чтобы понять, как провести плоскость α, которая будет параллельна диагонали A₁C, начнем с определения необходимых точек и векторов.

• Пусть куб имеет длину ребра 1.
• Тогда координаты вершин куба будут следующие:
  • A(0, 0, 0)
  • B(1, 0, 0)
  • C(1, 1, 0)
  • D(0, 1, 0)
  • A₁(0, 0, 1)
  • B₁(1, 0, 1)
  • C₁(1, 1, 1)
  • D₁(0, 1, 1)
• Точка K - это середина ребра AA₁. Таким образом, координаты K будут:
  • K(0, 0, 0.5)

• Диагональ A₁C соединяет точки A₁ и C. Координаты этих точек:
  • A₁(0, 0, 1)
  • C(1, 1, 0)
• Вектор, направленный от A₁ к C, можно найти, вычитая координаты:
  • Вектор AC = C - A₁ = (1, 1, 0) - (0, 0, 1) = (1, 1, -1).

• Плоскость α проходит через точку K и должна быть параллельна вектору AC. Для этого нам нужно выбрать еще одну точку на плоскости.
• Можно взять точку B(1, 0, 0) как вторую точку, так как она соединяет K и будет находиться на плоскости.

• Чтобы найти нормаль к плоскости, мы можем использовать вектор, который соединяет K и B, а также вектор AC.
• Вектор KB = B - K = (1, 0, 0) - (0, 0, 0.5) = (1, 0, -0.5).

• Теперь мы можем найти нормаль к плоскости, используя векторное произведение векторов AC и KB:
• n = AC x KB.
• Рассчитаем это произведение:
• n = |i j k|
• |1 1 -1|
• |1 0 -0.5|
• В результате получим нормальный вектор.

• Уравнение плоскости будет иметь вид: n1 * x + n2 * y + n3 * z = d, где (n1, n2, n3) - координаты нормали, а d можно найти, подставив координаты точки K.

Таким образом, мы получим уравнение плоскости α, которая проходит через точку K и параллельна диагонали A₁C. Если у вас есть вопросы по какому-то из шагов, не стесняйтесь спрашивать!