Докажите, что при любом натуральном n значение выражения n(n+1)(n+2)(n+3)+1 является квадратом натурального числа.

Математика 8 класс Доказательства свойств чисел доказательство натуральные числа квадрат выражение математика 8 класс n(n+1)(n+2)(n+3) математическая индукция Новый

Давайте докажем, что выражение n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 является квадратом натурального числа для любого натурального n.

Для начала рассмотрим само выражение:

• n(n+1)(n+2)(n+3) - это произведение четырех последовательных натуральных чисел.
• Добавим к этому произведению 1.

Теперь мы можем переписать выражение n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 в более удобной форме. Заметим, что:

• n(n+3) = n² + 3n
• (n+1)(n+2) = n² + 3n + 2

Таким образом, выражение n(n+1)(n+2)(n+3) можно записать как:

n(n+1)(n+2)(n+3) = n(n+3)(n² + 3n + 2)

Теперь, если мы раскроем скобки, то получим:

n(n+1)(n+2)(n+3) = n(n² + 3n + 2)(n + 3)

Но есть более простой способ доказать, что n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 является квадратом. Мы можем заметить, что:

n(n+1)(n+2)(n+3) = (n² + 3n)(n² + 3n + 2)

Теперь обозначим x = n(n + 3). Тогда мы можем переписать выражение как:

x(x + 2) + 1

Раскроем скобки:

x² + 2x + 1 = (x + 1)²

Таким образом, мы получили:

n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = (n(n + 3) + 1)²

Это означает, что n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 является квадратом натурального числа, так как n(n + 3) + 1 — это натуральное число для любого натурального n.

Таким образом, мы доказали, что при любом натуральном n значение выражения n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 является квадратом натурального числа.