Докажите, что верно следующее тождество: (sin a - cos a)^2 = 1 - sin 2a.

Математика 8 класс Тригонометрические тождества тождество математика 8 класс доказательство синус косинус Тригонометрия уравнения формулы математические доказательства Новый

Давайте докажем тождество (sin a - cos a)^2 = 1 - sin 2a шаг за шагом.

Начнем с левой части тождества:

1. Раскроем квадрат: (sin a - cos a)^2 = sin^2 a - 2sin a cos a + cos^2 a.
2. Теперь вспомним, что по основному тригонометрическому тождеству sin^2 a + cos^2 a = 1. Подставим это в наше выражение:
3. sin^2 a + cos^2 a = 1, следовательно, sin^2 a - 2sin a cos a + cos^2 a = 1 - 2sin a cos a.

Теперь у нас есть:

(sin a - cos a)^2 = 1 - 2sin a cos a.

Теперь перейдем к правой части тождества:

1. Вспомним формулу для синуса двойного угла: sin 2a = 2sin a cos a.
2. Подставим это в правую часть: 1 - sin 2a = 1 - 2sin a cos a.

Теперь мы видим, что обе части равны:

(sin a - cos a)^2 = 1 - 2sin a cos a = 1 - sin 2a.

Таким образом, мы доказали, что тождество (sin a - cos a)^2 = 1 - sin 2a верно.