Докажите неравенство (b/(b^2 + 1)) ≤ 1/2

Математика 8 класс Неравенства неравенство доказательство математика 8 класс b/(b^2 + 1) 1/2 алгебра математический анализ Новый

Чтобы доказать неравенство (b/(b^2 + 1)) ≤ 1/2, начнем с того, что мы можем переписать это неравенство в более удобной форме. Для этого умножим обе стороны на (b^2 + 1), при условии, что (b^2 + 1) > 0, что всегда верно, так как b^2 всегда неотрицательно, а 1 > 0.

Итак, мы получаем:

b ≤ (1/2)(b^2 + 1)

Теперь умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

2b ≤ b^2 + 1

Переносим все в одну сторону:

0 ≤ b^2 - 2b + 1

Теперь мы можем упростить это выражение:

0 ≤ (b - 1)^2

Теперь рассмотрим выражение (b - 1)^2. Это квадрат разности, и, как мы знаем, квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Таким образом, (b - 1)^2 ≥ 0 для любого значения b.

Следовательно, неравенство 0 ≤ (b - 1)^2 всегда выполняется. Это означает, что изначальное неравенство (b/(b^2 + 1)) ≤ 1/2 также верно для всех значений b.

Таким образом, мы доказали, что неравенство (b/(b^2 + 1)) ≤ 1/2 выполняется для любого действительного числа b.