Как можно доказать, что при a>0 выполняется неравенство a+2/a-2>2-a+2/2?

Математика 8 класс Неравенства неравенство доказательство математика 8 класс a больше 0 решение неравенств Новый

Чтобы доказать неравенство a + 2/a - 2 > 2 - a + 2/2 при условии a > 0, начнем с упрощения обеих сторон неравенства.

Сначала упростим правую часть неравенства:

• Преобразуем правую часть: 2 - a + 2/2. Здесь 2/2 равно 1, поэтому правую часть можно записать как 2 - a + 1 = 3 - a.

Теперь наше неравенство выглядит следующим образом:

a + 2/a - 2 > 3 - a

Теперь перенесем все члены на одну сторону неравенства:

• Прибавим a и 2 к обеим сторонам:

a + 2/a - 2 + a + 2 > 3

Упрощаем:

• Получаем: 2a + 2/a - 2 > 3

Теперь упростим неравенство:

• Переносим 2 на правую сторону:

2a + 2/a > 5

Теперь умножим обе стороны на a (поскольку a > 0, знак неравенства не изменится):

2a^2 + 2 > 5a

Теперь перенесем все на одну сторону:

2a^2 - 5a + 2 > 0

Теперь нам нужно решить квадратное неравенство. Для этого найдем корни соответствующего уравнения:

• Используем дискриминант: D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 * 2 * 2 = 25 - 16 = 9.
• Корни уравнения: a1 = (5 + √9) / (2 * 2) = 4 и a2 = (5 - √9) / (2 * 2) = 0.5.

Теперь мы знаем, что корни уравнения 2a^2 - 5a + 2 = 0 — это a = 4 и a = 0.5. Теперь можем построить интервал:

Квадратный трехчлен 2a^2 - 5a + 2 будет положителен вне интервалов между корнями:

• a < 0.5
• a > 4

Но так как у нас условие a > 0, мы можем заключить, что неравенство 2a^2 - 5a + 2 > 0 выполняется при a > 4.

Таким образом, мы доказали, что неравенство a + 2/a - 2 > 2 - a + 2/2 выполняется при a > 4.