Для анализа функции у = x^3 + 3x^2 - 4, мы можем выполнить несколько шагов, которые помогут нам понять ее поведение. Давайте рассмотрим основные этапы анализа функции.

Производная функции поможет нам определить, где функция возрастает или убывает, а также найти точки экстремума.

• Находим производную: у' = 3x^2 + 6x.

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует.

• Решаем у' = 0: 3x^2 + 6x = 0.
• Факторизуем: 3x(x + 2) = 0.
• Таким образом, критические точки: x = 0 и x = -2.

Для этого нужно исследовать знак производной на интервалах, разделенных критическими точками.

• Интервалы: (-∞, -2),(-2, 0),(0, +∞).
• Выбираем тестовые точки:
• Для x = -3 (интервал (-∞, -2)): у'(-3) = 3(-3)^2 + 6(-3) = 27 - 18 = 9 (положительное).
• Для x = -1 (интервал (-2, 0)): у'(-1) = 3(-1)^2 + 6(-1) = 3 - 6 = -3 (отрицательное).
• Для x = 1 (интервал (0, +∞)): у'(1) = 3(1)^2 + 6(1) = 3 + 6 = 9 (положительное).
• Итак, функция возрастает на интервалах (-∞, -2) и (0, +∞),и убывает на интервале (-2, 0).

Теперь мы можем найти значения функции в критических точках:

• Для x = -2: у(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 - 4 = -8 + 12 - 4 = 0.
• Для x = 0: у(0) = 0^3 + 3(0)^2 - 4 = -4.

На основе анализа знака производной мы можем сказать:

• В точке x = -2 функция имеет минимум (переход от возрастания к убыванию).
• В точке x = 0 функция имеет максимум (переход от убывания к возрастанию).

Для более полного понимания функции, рекомендуется построить ее график, используя найденные критические точки и значения функции.

Посмотрите, как ведет себя функция при x, стремящемся к бесконечности и минус бесконечности:

• При x → -∞: у → -∞.
• При x → +∞: у → +∞.

Таким образом, мы провели полный анализ функции у = x^3 + 3x^2 - 4 и узнали о ее критических точках, экстремумах и общем поведении.