Для решения неравенства (x-3)(2x-3) + 6x > 2(2x-3) мы будем следовать нескольким шагам. Давайте разберем это неравенство по частям.

Начнем с левой стороны:

• Раскроем скобки в выражении (x-3)(2x-3):
• (x-3)(2x-3) = x * 2x - x * 3 - 3 * 2x + 3 * 3 = 2x^2 - 3x - 6x + 9 = 2x^2 - 9x + 9.
• Теперь добавим 6x:
• 2x^2 - 9x + 9 + 6x = 2x^2 - 3x + 9.

Теперь у нас есть левая сторона: 2x^2 - 3x + 9.

Теперь упростим правую сторону:

• 2(2x-3) = 4x - 6.

Теперь наше неравенство выглядит так:

2x^2 - 3x + 9 > 4x - 6.

Переносим 4x и -6 в левую сторону:

2x^2 - 3x - 4x + 9 + 6 > 0.

Упрощаем:

• 2x^2 - 7x + 15 > 0.

Для нахождения корней уравнения 2x^2 - 7x + 15 = 0 используем дискриминант:

• D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 * 2 * 15 = 49 - 120 = -71.

Так как дискриминант отрицательный, у уравнения нет действительных корней, и парабола не пересекает ось X.

Так как коэффициент при x^2 положительный (2), то парабола открыта вверх. Это означает, что выражение 2x^2 - 7x + 15 всегда положительно для всех значений x.

Таким образом, неравенство 2x^2 - 7x + 15 > 0 выполняется для всех x. Ответ:

x ∈ R (все действительные числа).