Как можно решить уравнение: 5|x-1|-2|x+3| = 1?

Математика 8 класс Уравнения с модулями решение уравнения уравнение с модулем математические задачи 8 класс математика алгебраические уравнения Новый

Чтобы решить уравнение 5|x-1|-2|x+3| = 1, нам нужно рассмотреть различные случаи в зависимости от значений выражений внутри модулей. Модули могут принимать разные значения в зависимости от того, больше или меньше нуля их аргументы.

Давайте определим точки, в которых аргументы модулей равны нулю:

• |x - 1| = 0, когда x = 1
• |x + 3| = 0, когда x = -3

Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала:

• 1. x < -3
• 2. -3 ≤ x < 1
• 3. x ≥ 1

Теперь мы рассмотрим каждый из этих интервалов отдельно.

1. Интервал: x < -3

В этом интервале оба выражения под модулем отрицательные, поэтому:

• |x - 1| = -(x - 1) = -x + 1
• |x + 3| = -(x + 3) = -x - 3

Подставляем в уравнение:

5(-x + 1) - 2(-x - 3) = 1

Упрощаем:

• -5x + 5 + 2x + 6 = 1
• -3x + 11 = 1
• -3x = 1 - 11
• -3x = -10
• x = 10/3

Однако, 10/3 не принадлежит интервалу x < -3, поэтому решений в этом интервале нет.

2. Интервал: -3 ≤ x < 1

В этом интервале |x - 1| остается положительным, а |x + 3| отрицательным:

• |x - 1| = -(x - 1) = -x + 1
• |x + 3| = -(x + 3) = -x - 3

Подставляем в уравнение:

5(-x + 1) - 2(-x - 3) = 1

Упрощаем:

• -5x + 5 + 2x + 6 = 1
• -3x + 11 = 1
• -3x = -10
• x = 10/3

10/3 также не принадлежит интервалу -3 ≤ x < 1, поэтому решений в этом интервале тоже нет.

3. Интервал: x ≥ 1

В этом интервале оба выражения под модулем положительные:

• |x - 1| = x - 1
• |x + 3| = x + 3

Подставляем в уравнение:

5(x - 1) - 2(x + 3) = 1

Упрощаем:

• 5x - 5 - 2x - 6 = 1
• 3x - 11 = 1
• 3x = 12
• x = 4

Значение x = 4 принадлежит интервалу x ≥ 1, поэтому это решение допустимо.

Таким образом, единственное решение уравнения 5|x-1|-2|x+3| = 1:

x = 4