Как можно сократить дробь: 25^n + 2*10^n + 4^n / 25^n - 4^n?

Математика 8 класс Сокращение дробей и преобразование выражений сокращение дроби дроби в математике 25^n 10^n 4^n математические операции алгебра дробные выражения Новый

Чтобы сократить дробь (25^n + 2*10^n + 4^n) / (25^n - 4^n), давайте рассмотрим числитель и знаменатель отдельно.

Шаг 1: Анализ числителя

• Числитель: 25^n + 2*10^n + 4^n.
• Мы можем заметить, что 25^n = (5^2)^n = (5^n)^2, 10^n = (2*5)^n = 2^n * 5^n и 4^n = (2^2)^n = (2^n)^2.
• Таким образом, числитель можно представить как: (5^n)^2 + 2*(2^n * 5^n) + (2^n)^2.
• Это выражение можно переписать в виде: (5^n + 2^n)^2, используя формулу (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.

Шаг 2: Анализ знаменателя

• Знаменатель: 25^n - 4^n.
• Мы можем также представить его как: (5^n)^2 - (2^n)^2.
• Это выражение можно разложить на множители, используя формулу разности квадратов: a^2 - b^2 = (a - b)(a + b).
• В нашем случае: (5^n - 2^n)(5^n + 2^n).

Шаг 3: Подстановка и сокращение

• Теперь подставим найденные выражения в дробь:
• (5^n + 2^n)^2 / ((5^n - 2^n)(5^n + 2^n)).
• Мы видим, что (5^n + 2^n) есть как в числителе, так и в знаменателе.
• Следовательно, мы можем сократить (5^n + 2^n):

Шаг 4: Итоговое выражение

• После сокращения мы получаем: (5^n + 2^n) / (5^n - 2^n).

Таким образом, сокращённая форма дроби (25^n + 2*10^n + 4^n) / (25^n - 4^n) равна (5^n + 2^n) / (5^n - 2^n).