Чтобы найти площадь правильного треугольника, который описан около окружности, в которую вписан квадрат, начнем с определения необходимых параметров.

1. **Находим радиус окружности, в которую вписан квадрат.**

• Сторона квадрата равна 4√2 см.
• Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине диагонали квадрата.
• Диагональ квадрата можно найти по формуле: D = a√2, где a - сторона квадрата.
• Подставляем: D = 4√2 * √2 = 4 * 2 = 8 см.
• Радиус окружности R = D / 2 = 8 / 2 = 4 см.

2. **Находим площадь правильного треугольника, описанного около этой окружности.**

• Пусть радиус окружности R = 4 см.
• Сторона правильного треугольника (a) связана с радиусом описанной окружности формулой: R = a / (√3).
• Отсюда можно выразить сторону треугольника: a = R * √3 = 4 * √3 см.

3. **Теперь находим площадь правильного треугольника.**

• Площадь S правильного треугольника можно найти по формуле: S = (a² * √3) / 4.
• Подставляем значение стороны: S = ((4√3)² * √3) / 4 = (16 * 3 * √3) / 4 = 12√3 см².

Таким образом, площадь правильного треугольника, описанного около окружности, в которую вписан квадрат со стороной 4√2 см, равна 12√3 см².

К сожалению, я не могу добавить чертеж, но вы можете представить квадрат, вписанный в окружность, и правильный треугольник, который описан вокруг этой окружности. Правильный треугольник будет иметь свои вершины на окружности, а центр окружности будет совпадать с центром квадрата.