Чтобы решить неравенство (7m-1)² < (3m+9)², начнем с того, что мы можем использовать метод разности квадратов. Сначала раскроем обе стороны неравенства.

1. Раскроем квадратные выражения:

• (7m - 1)² = 49m² - 14m + 1
• (3m + 9)² = 9m² + 54m + 81

2. Теперь подставим эти выражения в неравенство:

49m² - 14m + 1 < 9m² + 54m + 81

3. Переносим все члены на одну сторону неравенства:

49m² - 14m + 1 - 9m² - 54m - 81 < 0

4. Упрощаем неравенство:

• 49m² - 9m² = 40m²
• -14m - 54m = -68m
• 1 - 81 = -80

Таким образом, мы получаем:

40m² - 68m - 80 < 0

5. Теперь можно упростить это неравенство, поделив все его коэффициенты на 4:

10m² - 17m - 20 < 0

6. Теперь найдем корни квадратного уравнения 10m² - 17m - 20 = 0 с помощью формулы корней:

m = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 10, b = -17, c = -20.

7. Сначала вычислим дискриминант:

• b² - 4ac = (-17)² - 4 * 10 * (-20) = 289 + 800 = 1089

8. Теперь находим корни:

• m1 = (17 + √1089) / (2 * 10) = (17 + 33) / 20 = 50 / 20 = 2.5
• m2 = (17 - √1089) / (2 * 10) = (17 - 33) / 20 = -16 / 20 = -0.8

9. Теперь мы имеем два корня: m1 = 2.5 и m2 = -0.8. Далее исследуем знак параболы, которая открыта вверх (так как коэффициент при m² положительный).

10. Мы делим числовую ось на интервалы по найденным корням:

• (-∞, -0.8)
• (-0.8, 2.5)
• (2.5, +∞)

11. Проверим знак неравенства на каждом из интервалов:

• Для m < -0.8 (например, m = -1): 10(-1)² - 17(-1) - 20 = 10 + 17 - 20 = 7 (положительное)
• Для -0.8 < m < 2.5 (например, m = 0): 10(0)² - 17(0) - 20 = -20 (отрицательное)
• Для m > 2.5 (например, m = 3): 10(3)² - 17(3) - 20 = 90 - 51 - 20 = 19 (положительное)

12. Таким образом, неравенство 10m² - 17m - 20 < 0 выполняется на интервале (-0.8, 2.5).

Ответ: m ∈ (-0.8, 2.5)