Как решить неравенство x² - x > 0?

Математика 8 класс Неравенства неравенство решение неравенства математика 8 класс x² - x > 0 алгебра математические неравенства методы решения неравенств

Чтобы решить неравенство x² - x > 0, следуем нескольким шагам. Давайте разберем процесс подробно.

1. Приведем неравенство к стандартному виду: Мы можем переписать неравенство, вынеся общий множитель:
• x² - x = x(x - 1).
2. Теперь запишем неравенство: x(x - 1) > 0.
3. Найдем нули функции: Для этого решим уравнение x(x - 1) = 0:
• x = 0
• x - 1 = 0 => x = 1
4. Теперь определим интервалы: У нас есть два нуля: x = 0 и x = 1. Эти точки делят числовую прямую на три интервала:
• (-∞, 0)
• (0, 1)
• (1, +∞)
5. Проверим знак функции на каждом интервале:
• Для интервала (-∞, 0): выберем, например, x = -1. Подставляем: (-1)(-1 - 1) = (-1)(-2) = 2 > 0. Значит, на этом интервале функция положительна.
• Для интервала (0, 1): выберем x = 0.5. Подставляем: (0.5)(0.5 - 1) = (0.5)(-0.5) = -0.25 < 0. Значит, на этом интервале функция отрицательна.
• Для интервала (1, +∞): выберем x = 2. Подставляем: (2)(2 - 1) = (2)(1) = 2 > 0. Значит, на этом интервале функция положительна.
6. Соберем результаты: Мы выяснили, что функция положительна на интервалах (-∞, 0) и (1, +∞).
7. Ответ: Таким образом, решение неравенства x² - x > 0 выглядит так:
• x < 0 или x > 1.

Итак, окончательный ответ: x ∈ (-∞, 0) ∪ (1, +∞).

Решение неравенства x² - x > 0 можно выполнить в несколько шагов. Давайте разберем процесс подробно.

Шаг 1: Приведение неравенства к стандартному виду

Начнем с того, что мы можем вынести общий множитель из левой части неравенства:

x² - x = x(x - 1)

Таким образом, наше неравенство можно переписать в следующем виде:

x(x - 1) > 0

Шаг 2: Нахождение корней

Теперь найдем корни уравнения x(x - 1) = 0. Для этого приравняем каждое множитель к нулю:

• x = 0
• x - 1 = 0 → x = 1

Таким образом, корни данного уравнения: x = 0 и x = 1.

Шаг 3: Определение интервалов

Теперь мы можем разбить числовую прямую на интервалы с учетом найденных корней:

• (-∞, 0)
• (0, 1)
• (1, +∞)

Шаг 4: Тестирование интервалов

Теперь проверим знак выражения x(x - 1) на каждом из интервалов:

1. Для интервала (-∞, 0): выберем, например, x = -1.
   • x(-1) = -1(-1 - 1) = -1(-2) = 2 (положительное)
2. Для интервала (0, 1): выберем, например, x = 0.5.
   • x(0.5) = 0.5(0.5 - 1) = 0.5(-0.5) = -0.25 (отрицательное)
3. Для интервала (1, +∞): выберем, например, x = 2.
   • x(2) = 2(2 - 1) = 2(1) = 2 (положительное)

Шаг 5: Запись решения

Теперь мы можем сделать вывод о знаках на каждом интервале:

• (-∞, 0): положительное
• (0, 1): отрицательное
• (1, +∞): положительное

Неравенство x(x - 1) > 0 выполняется на интервалах (-∞, 0) и (1, +∞).

Итог:

Ответ: Решением неравенства x² - x > 0 являются интервалы:

x ∈ (-∞, 0) ∪ (1, +∞).