Как решить уравнение: |x - 1| 3 = 5 - |2х - 2|? Пожалуйста, нужно до завтрашнего обеда. Даю 40 баллов, прошу.

Математика 8 класс Уравнения с модулями решение уравнения математика 8 класс модульное уравнение уравнение с модулем алгебра 8 класс Новый

Для решения уравнения |x - 1| + 3 = 5 - |2x - 2| нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

1. Сначала упростим уравнение. Переносим все члены на одну сторону:

• Переносим 5 и |2x - 2| на левую сторону:

|x - 1| + |2x - 2| + 3 - 5 = 0

Это можно записать как:

|x - 1| + |2x - 2| - 2 = 0

2. Теперь у нас есть уравнение вида |x - 1| + |2x - 2| = 2. Чтобы решить его, нужно рассмотреть разные случаи в зависимости от значений x, так как модули могут принимать разные значения в зависимости от x.

3. Найдем точки, в которых выражения внутри модулей равны нулю:

• Для |x - 1|: x = 1
• Для |2x - 2|: 2x - 2 = 0, отсюда x = 1

Таким образом, у нас есть одна точка разбиения: x = 1. Теперь рассмотрим три случая:

Случай 1: x < 1

В этом случае |x - 1| = -(x - 1) = 1 - x и |2x - 2| = -(2x - 2) = 2 - 2x. Подставляем в уравнение:

(1 - x) + (2 - 2x) = 2

Упрощаем:

3 - 3x = 2

Переносим 3 на правую сторону:

-3x = 2 - 3

-3x = -1

Делим обе стороны на -3:

x = 1/3

Проверяем, подходит ли x = 1/3 под условие x < 1. Да, подходит.

Случай 2: x = 1

Подставляем в уравнение:

|1 - 1| + |2*1 - 2| = 2

0 + 0 = 2

Это не выполняется, значит, x = 1 не является решением.

Случай 3: x > 1

В этом случае |x - 1| = x - 1 и |2x - 2| = 2x - 2. Подставляем в уравнение:

(x - 1) + (2x - 2) = 2

Упрощаем:

3x - 3 = 2

Переносим -3 на правую сторону:

3x = 5

Делим обе стороны на 3:

x = 5/3

Проверяем, подходит ли x = 5/3 под условие x > 1. Да, подходит.

4. Теперь у нас есть два решения: x = 1/3 и x = 5/3.

5. Проверяем оба решения в исходном уравнении:

• Для x = 1/3: |1/3 - 1| + 3 = 5 - |2*(1/3) - 2|. Проверяем: |1/3 - 1| = 2/3, |2/3 - 2| = 4/3. 2/3 + 3 = 5 - 4/3, 11/3 = 11/3. Верно.
• Для x = 5/3: |5/3 - 1| + 3 = 5 - |2*(5/3) - 2|. Проверяем: |5/3 - 1| = 2/3, |10/3 - 2| = 4/3. 2/3 + 3 = 5 - 4/3, 11/3 = 11/3. Верно.

Таким образом, окончательные решения уравнения:

x = 1/3 и x = 5/3.