Как решить уравнение: |x – 3| = 5 – |x + 2|?

Пожалуйста, дайте подробное объяснение :(

Математика 8 класс Уравнения с модулями решение уравнения уравнение с модулем математика 8 класс как решить уравнение модульные уравнения пошаговое решение уравнения Новый

Чтобы решить уравнение |x – 3| = 5 – |x + 2|, сначала давайте разберем его на части. Мы видим, что у нас есть два модуля: |x – 3| и |x + 2|. Для решения уравнения с модулями, нам нужно рассмотреть различные случаи в зависимости от значений переменной x.

Сначала определим критические точки, где модули меняют свое значение. Это происходит, когда выражения внутри модулей равны нулю:

• Для |x – 3|: x = 3
• Для |x + 2|: x = -2

Теперь у нас есть три интервала, которые мы можем рассмотреть:

1. x < -2
2. -2 ≤ x < 3
3. x ≥ 3

Теперь рассмотрим каждый из этих интервалов по отдельности.

1. Интервал: x < -2

В этом интервале оба модуля будут отрицательными, поэтому:

• |x - 3| = -(x - 3) = -x + 3
• |x + 2| = -(x + 2) = -x - 2

Подставим это в уравнение:

-x + 3 = 5 - (-x - 2)

-x + 3 = 5 + x + 2

-x + 3 = x + 7

Теперь решим это уравнение:

• Переносим все x в одну сторону: -x - x = 7 - 3
• -2x = 4
• x = -2

Но x = -2 не принадлежит интервалу x < -2, поэтому нет решений в этом интервале.

2. Интервал: -2 ≤ x < 3

В этом интервале модуль |x - 3| остается отрицательным, а |x + 2| положительным:

• |x - 3| = -(x - 3) = -x + 3
• |x + 2| = x + 2

Подставим это в уравнение:

-x + 3 = 5 - (x + 2)

-x + 3 = 5 - x - 2

-x + 3 = 3 - x

Теперь решим это уравнение:

• Сложим x с обеих сторон: -x + x + 3 = 3
• 3 = 3

Это уравнение выполняется для всех x в интервале -2 ≤ x < 3, значит, все значения x из этого интервала являются решениями.

3. Интервал: x ≥ 3

В этом интервале оба модуля положительные:

• |x - 3| = x - 3
• |x + 2| = x + 2

Подставим это в уравнение:

x - 3 = 5 - (x + 2)

x - 3 = 5 - x - 2

x - 3 = 3 - x

Теперь решим это уравнение:

• Сложим x с обеих сторон: x + x - 3 = 3
• 2x - 3 = 3
• 2x = 6
• x = 3

Это значение x = 3 принадлежит интервалу x ≥ 3, значит, оно также является решением.

Итак, итоговые решения:

• Все x из интервала -2 ≤ x < 3
• Также x = 3

Таким образом, полное множество решений уравнения |x – 3| = 5 – |x + 2| можно записать как: x ≥ -2.