Метод разложения на множители позволяет решить квадратные уравнения вида ax^2 + bx + c = 0, представив их в виде произведения двух линейных множителей. Давайте рассмотрим, как это сделать на примере предложенных уравнений.

Для каждого уравнения мы будем искать такие два числа, которые в сумме дают коэффициент b, а в произведении — коэффициент c.

1. x² + 6x + 8 = 0
   • Ищем два числа, которые в сумме дают 6, а в произведении 8. Это числа 2 и 4.
   • Записываем уравнение в виде: (x + 2)(x + 4) = 0.
   • Решаем: x + 2 = 0 или x + 4 = 0, отсюда x = -2 и x = -4.
2. x² - 2x - 35 = 0
   • Ищем два числа, которые в сумме дают -2, а в произведении -35. Это числа 5 и -7.
   • Записываем: (x - 7)(x + 5) = 0.
   • Решаем: x - 7 = 0 или x + 5 = 0, отсюда x = 7 и x = -5.
3. x² - 10x + 16 = 0
   • Ищем два числа, которые в сумме дают -10, а в произведении 16. Это числа -2 и -8.
   • Записываем: (x - 2)(x - 8) = 0.
   • Решаем: x - 2 = 0 или x - 8 = 0, отсюда x = 2 и x = 8.
4. x² + x + 6 = 0
   • Нет таких чисел, которые в сумме дают 1, а в произведении 6. У этого уравнения нет действительных корней.
5. x² + 8x - 48 = 0
   • Ищем два числа, которые в сумме дают 8, а в произведении -48. Это числа 12 и -4.
   • Записываем: (x + 12)(x - 4) = 0.
   • Решаем: x + 12 = 0 или x - 4 = 0, отсюда x = -12 и x = 4.
6. x² + 9x + 14 = 0
   • Ищем два числа, которые в сумме дают 9, а в произведении 14. Это числа 2 и 7.
   • Записываем: (x + 2)(x + 7) = 0.
   • Решаем: x + 2 = 0 или x + 7 = 0, отсюда x = -2 и x = -7.
7. x² + 2x - 35 = 0
   • Ищем два числа, которые в сумме дают 2, а в произведении -35. Это числа 7 и -5.
   • Записываем: (x + 7)(x - 5) = 0.
   • Решаем: x + 7 = 0 или x - 5 = 0, отсюда x = -7 и x = 5.
8. x² + 10x + 24 = 0
   • Ищем два числа, которые в сумме дают 10, а в произведении 24. Это числа 4 и 6.
   • Записываем: (x + 4)(x + 6) = 0.
   • Решаем: x + 4 = 0 или x + 6 = 0, отсюда x = -4 и x = -6.
9. x² - 11x + 24 = 0
   • Ищем два числа, которые в сумме дают -11, а в произведении 24. Это числа -3 и -8.
   • Записываем: (x - 3)(x - 8) = 0.
   • Решаем: x - 3 = 0 или x - 8 = 0, отсюда x = 3 и x = 8.
10. x² - 18x + 72 = 0
    • Ищем два числа, которые в сумме дают -18, а в произведении 72. Это числа -6 и -12.
    • Записываем: (x - 6)(x - 12) = 0.
    • Решаем: x - 6 = 0 или x - 12 = 0, отсюда x = 6 и x = 12.
11. x² - 14x + 45 = 0
    • Ищем два числа, которые в сумме дают -14, а в произведении 45. Это числа -5 и -9.
    • Записываем: (x - 5)(x - 9) = 0.
    • Решаем: x - 5 = 0 или x - 9 = 0, отсюда x = 5 и x = 9.
12. x² + 14x + 48 = 0
    • Ищем два числа, которые в сумме дают 14, а в произведении 48. Это числа 6 и 8.
    • Записываем: (x + 6)(x + 8) = 0.
    • Решаем: x + 6 = 0 или x + 8 = 0, отсюда x = -6 и x = -8.

Таким образом, мы рассмотрели все предложенные уравнения и нашли их корни, где это возможно. Если уравнение не имеет действительных корней, то мы это также указали.