Давайте упростим каждое из предложенных математических выражений шаг за шагом.

1. Упрощение выражений:

1. m⁴n⁵m³n²:
• Сначала объединим степени с одинаковыми основаниями: m⁴ * m³ = m^(4+3) = m⁷.
• Аналогично для n: n⁵ * n² = n^(5+2) = n⁷.
• Итак, итоговое выражение: m⁷n⁷.
2. x¹⁰ : x⁴:
• При делении оснований с одинаковыми степенями вычитаем показатели: x¹⁰ / x⁴ = x^(10-4) = x⁶.
• Ответ: x⁶.
3. a⁵a⁷ / a¹¹:
• Сначала объединим степени в числителе: a⁵ * a⁷ = a^(5+7) = a¹².
• Теперь делим: a¹² / a¹¹ = a^(12-11) = a¹.
• Ответ: a.
4. (a⁹)⁷:
• При возведении степени в степень умножаем показатели: (a⁹)⁷ = a^(9*7) = a⁶³.
• Ответ: a⁶³.
5. (-y)(-y)²:
• Сначала упростим: (-y)² = y². Теперь: (-y) * y² = -y^(1+2) = -y³.
• Ответ: -y³.
6. (b⁶c⁷)⁸ / b¹⁶c¹⁶:
• Сначала упростим числитель: (b⁶)⁸ = b^(6*8) = b⁴₈ и (c⁷)⁸ = c^(7*8) = c⁵₆.
• Теперь: b⁴₈c⁵₆ / b¹⁶c¹⁶ = b^(48-16)c^(56-16) = b³₂c⁴₀.
• Ответ: b³₂c⁴₀.
7. (3ab³)⁵:
• Возведем каждое основание в степень: (3)⁵ = 243, (a)⁵ = a⁵, (b³)⁵ = b^(3*5) = b¹⁵.
• Итак, итоговое выражение: 243a⁵b¹⁵.
8. ((x⁶x⁸) / x²)⁴:
• Сначала упростим в скобках: x⁶ * x⁸ = x^(6+8) = x¹₄.
• Теперь делим: x¹₄ / x² = x^(14-2) = x¹².
• Теперь возводим в степень: (x¹²)⁴ = x^(12*4) = x⁴₈.
• Ответ: x⁴₈.

2. Как заменить звёздочку такой степенью с основанием b:

1. * ⋅ b³ = b¹⁸:
• Заменяем * на b^(18-3) = b¹⁵.
2. * ⋅ b³ = b¹⁸:
• Аналогично: * = b¹⁵.
3. b¹² ⋅ * = b⁸:
• * = b^(8-12) = b⁻⁴.
4. b¹⁶ = (*)²:
• * = b^(16/2) = b⁸.
5. b¹⁶ = (*)⁴:
• * = b^(16/4) = b⁴.
6. b¹⁶ = (*)⁸:
• * = b^(16/8) = b².

3. Как найти значение следующих выражений:

1. 6³¹ ⋅ 6⁴⁰ : 6⁶⁸:
• Сначала умножаем: 6³¹ * 6⁴⁰ = 6^(31+40) = 6⁷¹.
• Теперь делим: 6⁷¹ / 6⁶⁸ = 6^(71-68) = 6³.
• Ответ: 6³.
2. (2¹⁵)⁶ : 2⁸⁵:
• Возводим в степень: (2¹⁵)⁶ = 2^(15*6) = 2⁹₀.
• Теперь делим: 2⁹₀ / 2⁸⁵ = 2^(90-85) = 2⁵.
• Ответ: 2⁵.
3. 243 ⋅ 9 / 3⁶:
• 243 = 3⁵, 9 = 3². Таким образом: 3⁵ * 3² = 3^(5+2) = 3⁷.
• Теперь делим: 3⁷ / 3⁶ = 3^(7-6) = 3¹.
• Ответ: 3.
4. 0,9¹¹ ⋅ (1/9)¹¹:
• 0,9 = 9/10 = 9¹ / 10¹. Таким образом: (9¹ / 10¹)¹¹ = 9¹¹ / 10¹¹.
• Теперь: 9¹¹ * (1/9)¹¹ = 9¹¹ / 9¹¹ = 1.
• Ответ: 1.
5. 26¹⁸ / (13¹⁷ ⋅ 2¹⁶):
• 26 = 2 * 13, тогда 26¹⁸ = (2 * 13)¹⁸ = 2¹⁸ * 13¹⁸.
• Теперь делим: (2¹⁸ * 13¹⁸) / (13¹⁷ * 2¹⁶) = 2^(18-16) * 13^(18-17) = 2² * 13¹ = 4 * 13 = 52.
• Ответ: 52.
6. 98² / 28⁸:
• 98 = 2 * 7², 28 = 2² * 7. Таким образом: 98² = (2 * 7²)² = 2² * 7⁴.
• Теперь: 28⁸ = (2² * 7)⁸ = 2¹₆ * 7⁸.
• Теперь делим: (2² * 7⁴) / (2¹₆ * 7⁸) = 2^(2-16) * 7^(4-8) = 2⁻¹⁴ * 7⁻⁴.
• Ответ: 1 / (2¹⁴ * 7⁴).

Таким образом, мы упростили все выражения и нашли их значения. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!