Какое количество восьмизначных чисел можно составить так, чтобы произведение всех цифр этих чисел равно 16875? Ответ должен быть представлен в виде целого числа.

Математика 8 класс Комбинаторика и числовые свойства восьмизначные числа произведение цифр 16875 количество чисел математика 8 класс задачи по математике комбинаторика целые числа цифры в числе Новый

Для того чтобы найти количество восьмизначных чисел, произведение цифр которых равно 16875, сначала необходимо разложить число 16875 на простые множители.

Начнем с деления:

• 16875 делится на 5: 16875 / 5 = 3375
• 3375 делится на 5: 3375 / 5 = 675
• 675 делится на 5: 675 / 5 = 135
• 135 делится на 5: 135 / 5 = 27
• 27 делится на 3: 27 / 3 = 9
• 9 делится на 3: 9 / 3 = 3
• 3 делится на 3: 3 / 3 = 1

Итак, мы можем записать разложение 16875 на простые множители:

16875 = 5^4 * 3^3

Теперь мы знаем, что нам нужно составить восьмизначное число из цифр, произведение которых равно 5^4 * 3^3. При этом цифры могут быть от 0 до 9, но так как число восьмизначное, первая цифра не может быть равна 0.

Цифры, которые могут быть использованы для представления множителей:

• Цифра 5 может быть использована 4 раза (из 5^4).
• Цифра 3 может быть использована 3 раза (из 3^3).

Сейчас мы имеем 4 пятерки и 3 тройки, что в сумме дает 7 цифр. Однако нам нужно 8 цифр, поэтому мы можем добавить одну цифру 1, так как 1 не влияет на произведение.

Теперь у нас есть 4 пятерки, 3 тройки и 1 единица. Мы можем представить это как набор из 8 цифр: 5, 5, 5, 5, 3, 3, 3, 1.

Теперь мы должны найти количество различных перестановок этих цифр. Формула для нахождения количества перестановок с повторениями выглядит следующим образом:

Количество перестановок = n! / (k1! k2! ... * km!)

Где n - общее количество элементов, а k1, k2, ..., km - количество повторяющихся элементов.

В нашем случае:

• n = 8 (всего 8 цифр)
• k1 = 4 (четыре пятерки)
• k2 = 3 (три тройки)
• k3 = 1 (одна единица)

Подставим значения в формулу:

Количество перестановок = 8! / (4! 3! 1!)

Теперь посчитаем факториалы:

• 8! = 40320
• 4! = 24
• 3! = 6
• 1! = 1

Теперь подставим эти значения в формулу:

Количество перестановок = 40320 / (24 6 1) = 40320 / 144 = 280

Таким образом, количество восьмизначных чисел, произведение цифр которых равно 16875, составляет 280.