Чтобы решить неравенство 4x(x+2) >= 0, давайте пройдемся по шагам.

1. Приведем неравенство к стандартному виду: Мы можем упростить его, заметив, что 4 является положительным числом и не влияет на знак неравенства. Поэтому мы можем рассмотреть только неравенство x(x+2) >= 0.
2. Найдем корни уравнения: Для начала найдем, когда выражение x(x+2) равно нулю. Это происходит, когда:
   • x = 0
   • x + 2 = 0, следовательно, x = -2
   Таким образом, корни уравнения: x = -2 и x = 0.
3. Построим числовую прямую: Теперь мы можем построить числовую прямую и отметить на ней корни:
   • Корень -2
   • Корень 0
   Это делит числовую прямую на три интервала: (-∞, -2), (-2, 0) и (0, +∞).
4. Определим знак выражения в каждом интервале: Теперь проверим знак выражения x(x+2) в каждом из интервалов.
   • Для интервала (-∞, -2): возьмем, например, x = -3. Тогда:
     • x(x+2) = -3(-3 + 2) = -3(-1) = 3 (положительное)
   • Для интервала (-2, 0): возьмем, например, x = -1. Тогда:
     • x(x+2) = -1(-1 + 2) = -1(1) = -1 (отрицательное)
   • Для интервала (0, +∞): возьмем, например, x = 1. Тогда:
     • x(x+2) = 1(1 + 2) = 1(3) = 3 (положительное)
5. Соберем результаты: Мы выяснили, что:
   • В интервале (-∞, -2) выражение положительное.
   • В интервале (-2, 0) выражение отрицательное.
   • В интервале (0, +∞) выражение положительное.
   Также не забудьте, что в точках x = -2 и x = 0 выражение равно нулю.
6. Запишем ответ: Неравенство x(x+2) >= 0 выполняется в интервалах:
   • x ∈ (-∞, -2]
   • x ∈ [0, +∞)
   Таким образом, решение неравенства 4x(x+2) >= 0: x ∈ (-∞, -2] ∪ [0, +∞).

Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как решать подобные неравенства!