Давайте разберем условия задачи по порядку и найдем наименьшее натуральное число, которое им соответствует.

1. Кратно 3: Это означает, что число должно делиться на 3 без остатка. То есть, если мы обозначим наше число как x, то x % 3 = 0.
2. Некратно 2: Это значит, что число не должно быть четным, то есть x % 2 ≠ 0. Следовательно, x должно быть нечетным.
3. При делении на 29 с остатком, отличным от нуля, дает неполное частное, равное 13: Это условие можно записать так: x = 29 * 13 + r, где r - остаток, который должен быть больше 0 и меньше 29. Таким образом, x = 377 + r, где r может принимать значения от 1 до 28.

Теперь мы можем объединить все эти условия:

Итак, мы ищем число x, которое можно записать как:

x = 377 + r, где 1 ≤ r < 29

Теперь подставим различные значения r от 1 до 28 и проверим, удовлетворяет ли полученное число условиям кратности 3 и некратности 2.

• Если r = 1, то x = 378. Это число четное (кратно 2), не подходит.
• Если r = 2, то x = 379. Это число нечетное, но 379 % 3 = 1, не подходит.
• Если r = 3, то x = 380. Это число четное, не подходит.
• Если r = 4, то x = 381. Это число нечетное и 381 % 3 = 0, подходит!

Проверим следующее значение:

• Если r = 5, то x = 382. Это число четное, не подходит.
• Если r = 6, то x = 383. Это число нечетное, но 383 % 3 = 1, не подходит.
• Если r = 7, то x = 384. Это число четное, не подходит.
• Если r = 8, то x = 385. Это число нечетное и 385 % 3 = 0, подходит!

Таким образом, мы видим, что 381 и 385 подходят под условия. Однако, 381 меньше, чем 385, и является наименьшим числом, которое удовлетворяет всем условиям.

Ответ: Наименьшее натуральное число, которое кратно 3, некратно 2 и при делении на 29 с остатком, отличным от нуля, дает неполное частное, равное 13, это 381.