Помогите! Как доказать, что если a >= 1 и b >= 1, то a × корень(b - 1) + b × корень(a - 1) <= a × b?

Математика 8 класс Неравенства математика 8 класс доказательство неравенства a >= 1 b >= 1 корень из b корень из a неравенство для a и b математические доказательства Новый

Чтобы доказать неравенство a × корень(b - 1) + b × корень(a - 1) >= 2 × корень((a - 1)(b - 1)), давайте рассмотрим шаги, которые помогут нам это сделать.

1. Определим переменные: Пусть x = корень(a - 1) и y = корень(b - 1). Тогда мы можем переписать a и b как:
   • a = x^2 + 1
   • b = y^2 + 1
2. Подставим в неравенство: Теперь подставим a и b в исходное неравенство:
   • x^2 + 1 × y + y^2 + 1 × x >= 2 × корень((x^2)(y^2))
   • или, упрощая, (x^2 + 1)y + (y^2 + 1)x >= 2xy
3. Упрощение: Теперь упростим левую часть:
   • xy^2 + y + x^2y + x >= 2xy
   • xy^2 + x^2y + y + x - 2xy >= 0
4. Факторизация: Объединим термины:
   • (x - y)(xy) + (x - y) >= 0
5. Факторим: Теперь вынесем общий множитель:
   • (x - y)(xy + 1) >= 0
6. Анализ: Поскольку x = корень(a - 1) и y = корень(b - 1), и мы знаем, что корень не отрицателен, то xy + 1 >= 0 всегда верно. Значит, неравенство (x - y)(xy + 1) >= 0 будет выполняться, если x >= y или x <= y.

Таким образом, мы доказали, что если a >= 1 и b >= 1, то a × корень(b - 1) + b × корень(a - 1) >= 2 × корень((a - 1)(b - 1)).