Помогите, пожалуйста: сколько пар целых чисел х и у существует, которые удовлетворяют уравнению х² + 2023 = у²? Приведите все решения!

Математика 8 класс Диофантовы уравнения пары целых чисел уравнение целые числа х² у² математические решения 2023 задачи по математике алгебраические уравнения поиск решений Новый

Для решения уравнения x² + 2023 = y², давайте сначала преобразуем его. Мы можем переписать уравнение в следующем виде:

y² - x² = 2023

Это уравнение можно представить как разность квадратов:

(y - x)(y + x) = 2023

Теперь нам нужно найти такие целые числа (y - x) и (y + x), произведение которых равно 2023. Обозначим:

• a = y - x
• b = y + x

Тогда у нас есть система:

• a * b = 2023
• y = (a + b) / 2
• x = (b - a) / 2

Теперь нам нужно найти все делители числа 2023. Начнем с разложения на простые множители:

2023 = 7 * 289 = 7 * 17²

Теперь найдем все положительные делители числа 2023:

• 1
• 7
• 17
• 119 (7 * 17)
• 289 (17²)
• 2023 (7 * 289)

Таким образом, положительные делители 2023: 1, 7, 17, 119, 289, 2023. Теперь учтем, что для каждого положительного делителя a, существует соответствующий делитель b = 2023 / a. Мы можем составить пары (a, b):

• (1, 2023)
• (7, 289)
• (17, 119)
• (119, 17)
• (289, 7)
• (2023, 1)

Теперь найдем все возможные значения x и y для каждой пары (a, b):

1. Для (1, 2023):
   • y = (1 + 2023) / 2 = 1012
   • x = (2023 - 1) / 2 = 1011
2. Для (7, 289):
   • y = (7 + 289) / 2 = 148
   • x = (289 - 7) / 2 = 141
3. Для (17, 119):
   • y = (17 + 119) / 2 = 68
   • x = (119 - 17) / 2 = 51
4. Для (119, 17):
   • y = (119 + 17) / 2 = 68
   • x = (119 - 17) / 2 = 51
5. Для (289, 7):
   • y = (289 + 7) / 2 = 148
   • x = (289 - 7) / 2 = 141
6. Для (2023, 1):
   • y = (2023 + 1) / 2 = 1012
   • x = (2023 - 1) / 2 = 1011

Теперь учтем, что x и y могут быть отрицательными, так как (y - x) и (y + x) могут быть отрицательными. Для каждой пары (a, b) мы можем также взять (-a, -b), что даст нам те же значения x и y, но с противоположными знаками.

Таким образом, у нас получится 6 пар целых чисел (x, y) и еще 6 пар с отрицательными значениями:

Итоговые пары (x, y):

• (1011, 1012)
• (141, 148)
• (51, 68)
• (-51, -68)
• (-141, -148)
• (-1011, -1012)

Таким образом, всего существует 12 пар целых чисел (x, y), которые удовлетворяют данному уравнению.