Для решения данного выражения, нужно воспользоваться формулой разности квадратов:

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В данном случае:

1. $a = 1 + \sqrt{3}$;
2. $b = 1 - \sqrt{3}$.

Подставим значения в формулу и получим:

$(1 + \sqrt{3})^2 - (1 - \sqrt{3})^2$.

Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые:

$1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 - (1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2)$;

Приведём подобные слагаемые и получим:

$4$.

Теперь найдём значение выражения $\frac{1}{1 + \sqrt{3}} + \frac{1}{1 - \sqrt{3}}$:

$\frac{1}{1 + \sqrt{3}} = \frac{(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3})} = \frac{4}{1 + \sqrt{3}}$;

$\frac{1}{1 - \sqrt{3}} = \frac{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})} = \frac{4}{1 - \sqrt{3}}$;

Сложим полученные дроби и получим:

$\frac{4}{1 + \sqrt{3}} + \frac{4}{1 - \sqrt{3}}$.

Сократим на общий множитель $4$ и получим:

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3}}{4}} + \frac{1}{\frac{1 - \sqrt{3}}{4}}$;

Получим:

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3}}{2}} + \frac{1}{\frac{1 - \sqrt{3}}{2}}$;

Вынесем за скобки общий множитель и получим:

$2 * (\frac{1}{1 + \sqrt{3}} + \frac{1}{1 - \sqrt{3}})$.

Вернёмся к выражению, которое мы получили ранее и подставим его вместо выражения в скобках:

$2 * \frac{4}{1 + \sqrt{3}} + \frac{4}{1 - \sqrt{3}}$;

После сокращения на общий множитель получим:

$\frac{2}{\frac{1 + \sqrt{3}}{2}} + \frac{2}{\frac{1 - \sqrt{3}}{2}}$;

И после упрощения получим:

$\frac{2 2}{1 + \sqrt{3}} + \frac{2 2}{1 - \sqrt{3}}$;

Выполним умножение в числителе и получим:

$\frac{4 2}{1 + \sqrt{3}} + \frac{4 2}{1 - \sqrt{3}}$;

Упростим выражение и получим:

$8 * (\frac{1}{1 + \sqrt{3}} + \frac{1}{1 - \sqrt{3}})$;

Вернёмся к исходному выражению и подставим полученное значение:

$8 * \frac{4}{1 + \sqrt{3}} + \frac{4}{1 - \sqrt{3}}$;

Сократив на общий множитель, получим:

$\frac{8}{\frac{1 + \sqrt{3}}{2}} + \frac{8}{\frac{1 - \sqrt{3}}{2}}$;

Упростим и получим:

$\frac{8 2}{1 + \sqrt{3}} + \frac{8 2}{1 - \sqrt{3}}$;

Окончательно упростив, получим ответ:

$\boxed{\frac{16}{1 + \sqrt{3}}}$.