Арифметические операции с комплексными числами

Комплексные числа — это числа, которые включают в себя действительную и мнимую части. Они используются для решения задач, где необходимо учитывать как реальные, так и воображаемые величины. В этом учебном материале мы рассмотрим основные арифметические операции с комплексными числами: сложение, вычитание, умножение и деление.

Сложение и вычитание комплексных чисел

Для сложения и вычитания комплексных чисел необходимо выполнить следующие действия:

1. Сложить или вычесть действительные части комплексных чисел.
2. Сложить или вычесть мнимые части комплексных чисел.
3. Если мнимая часть результата равна нулю, то число является действительным. Если нет, то оно является комплексным.

Пример:

$$(3 + 4i) + (5 - 6i) = 8 - 2i$$

Решение:

1. $3 + 5 = 8$
2. $4i - 6i = -2i$

Таким образом, результатом сложения двух комплексных чисел является комплексное число $8 - 2i$.

Умножение комплексных чисел

Чтобы умножить два комплексных числа, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Умножить действительные части друг на друга.
2. Умножить мнимые части друг на друга.
3. При необходимости привести подобные слагаемые.
4. Если результат содержит мнимую часть, то число является комплексным, иначе — действительным.

Пример:

$$(2 + 3i)(4 - 5i) = -7 + 17i$$

Решение:

1. $(2)(4) = 8$
2. $(3)(−5) = −15$
3. $8i + (−15)(−i) = −7 + 17i$

Таким образом, произведением двух комплексных чисел является число $-7 + 17i$.

Деление комплексных чисел

Деление комплексных чисел выполняется по следующему алгоритму:

1. Записать делимое и делитель в виде комплексных чисел.
2. Найти сопряжённое к делителю число.
3. Разделить делимое на сопряжённое число.
4. Результат будет являться частным от деления.
5. Если частное содержит мнимую часть, то число является комплексным, иначе — действительным.

Пример:

$$\frac{3 + 4i}{2 - i} = \frac{(3 + 4i)(2 + i)}{(2 - i)(2 + i)} = \frac{11 + 9i}{5} = 2,2 + 1,8i$$

Решение:

1. Делимое: $3 + 4i$
2. Делитель: $2 - i$
3. Сопряжённое число к делителю: $2 + i$
4. Частное: $$\frac{(3 + 4i)}{(2 + i)}$$
5. $$\frac{3(2) + 4(i)}{2 + i} = \frac{4 + 0}{3} = \frac{4}{3}$$
6. $$\frac{4i}{2 + i} = \frac{2(4i)}{2(2 + i)} = \frac{8i}{4 + 2i} = \frac{8i}{6} = \frac{4}{3}(2i)$$
7. Таким образом, частное равно $\frac{4}{3} + \frac{4}{3}i$, что можно записать как $2,2 + 1,8i$.

В заключение, арифметические операции с комплексными числами являются важным инструментом для решения сложных математических задач. Комплексные числа позволяют учитывать как реальные, так и воображаемые значения, что делает их полезными во многих областях науки и техники.