Чтобы решить неравенство а² < а, начнем с того, что мы можем переписать его в более удобной форме. Для этого перенесем все члены в одну сторону:

1. Переписываем неравенство:

а² - а < 0

Теперь у нас есть квадратное неравенство. Давайте найдем корни уравнения а² - а = 0, чтобы определить, где это выражение меняет знак.

2. Находим корни:

а² - а = 0 можно вынести общий множитель:

а(а - 1) = 0

Теперь мы можем найти корни:

• а = 0
• а - 1 = 0, следовательно, а = 1

Таким образом, у нас есть два корня: а = 0 и а = 1.

3. Определяем интервалы:

Теперь разделим числовую прямую на три интервала, основываясь на найденных корнях:

• (-∞, 0)
• (0, 1)
• (1, +∞)

4. Проверяем знаки на интервалах:

Теперь нам нужно проверить знак выражения а(а - 1) в каждом из этих интервалов:

• Для интервала (-∞, 0): выберем, например, а = -1. Подставляем:

(-1)(-1 - 1) = (-1)(-2) = 2 (положительное)

• Для интервала (0, 1): выберем, например, а = 0.5. Подставляем:

(0.5)(0.5 - 1) = (0.5)(-0.5) = -0.25 (отрицательное)

• Для интервала (1, +∞): выберем, например, а = 2. Подставляем:

(2)(2 - 1) = (2)(1) = 2 (положительное)

5. Подводим итог:

Мы выяснили, что:

• На интервале (-∞, 0) выражение а(а - 1) > 0
• На интервале (0, 1) выражение а(а - 1) < 0
• На интервале (1, +∞) выражение а(а - 1) > 0

Таким образом, неравенство а² < а выполняется на интервале (0, 1).

6. Ответ: Значения а, при которых верно неравенство а² < а, находятся в интервале (0, 1).