Чтобы решить неравенство куба x больше x, нам нужно записать его в виде:

x^3 > x

Теперь мы можем перенести x в левую часть неравенства:

x^3 - x > 0

Далее, мы можем вынести x за скобки:

x(x^2 - 1) > 0

Теперь мы видим, что выражение можно разложить на множители:

x(x - 1)(x + 1) > 0

Теперь нам нужно найти, при каких значениях x это произведение будет больше нуля. Для этого определим нули функции:

• x = 0
• x - 1 = 0 → x = 1
• x + 1 = 0 → x = -1

Итак, у нас есть три ключевых значения: x = -1, x = 0 и x = 1. Теперь мы можем разделить числовую ось на интервалы, используя эти значения:

• (-∞, -1)
• (-1, 0)
• (0, 1)
• (1, +∞)

Теперь проверим знак произведения x(x - 1)(x + 1) на каждом из этих интервалов:

1. Для интервала (-∞, -1):
   • Выберем, например, x = -2:
   • x(-2)(-2 - 1)(-2 + 1) = -2(-3)(-1) = -6, знак отрицательный.
2. Для интервала (-1, 0):
   • Выберем, например, x = -0.5:
   • x(-0.5)(-0.5 - 1)(-0.5 + 1) = -0.5(-1.5)(0.5) = 0.375, знак положительный.
3. Для интервала (0, 1):
   • Выберем, например, x = 0.5:
   • x(0.5)(0.5 - 1)(0.5 + 1) = 0.5(-0.5)(1.5) = -0.375, знак отрицательный.
4. Для интервала (1, +∞):
   • Выберем, например, x = 2:
   • x(2)(2 - 1)(2 + 1) = 2(1)(3) = 6, знак положительный.

Теперь мы можем сделать выводы:

Произведение x(x - 1)(x + 1) будет больше нуля на интервалах:

• (-1, 0)
• (1, +∞)

Таким образом, куб x больше x при значениях:

x ∈ (-1, 0) ∪ (1, +∞)