Для решения неравенства (7x + 4)(6 - 5x) ≤ 0, давайте начнем с того, что определим, при каких значениях x произведение двух выражений будет меньше или равно нулю.

Шаг 1: Найдем нули каждого множителя.

• Первый множитель: 7x + 4 = 0
• Решим это уравнение:
1. 7x = -4
2. x = -4/7
• Второй множитель: 6 - 5x = 0
• Решим это уравнение:
1. -5x = -6
2. x = 6/5

Таким образом, мы нашли два критических значения: x = -4/7 и x = 6/5.

Шаг 2: Разделим числовую ось на интервалы с учетом найденных значений:

• (-∞, -4/7)
• (-4/7, 6/5)
• (6/5, +∞)

Шаг 3: Проверим знак произведения на каждом из этих интервалов. Мы будем подставлять тестовые значения из каждого интервала в неравенство (7x + 4)(6 - 5x).

• Интервал (-∞, -4/7): возьмем x = -1
1. (7 * -1 + 4)(6 - 5 * -1) = (-3)(11) = -33 (меньше нуля)
• Интервал (-4/7, 6/5): возьмем x = 0
1. (7 * 0 + 4)(6 - 5 * 0) = (4)(6) = 24 (больше нуля)
• Интервал (6/5, +∞): возьмем x = 2
1. (7 * 2 + 4)(6 - 5 * 2) = (18)(-4) = -72 (меньше нуля)

Шаг 4: Теперь мы можем составить итог:

• На интервале (-∞, -4/7) произведение меньше нуля.
• На интервале (-4/7, 6/5) произведение больше нуля.
• На интервале (6/5, +∞) произведение меньше нуля.

Шаг 5: Теперь подведем итоги. Мы ищем, где произведение меньше или равно нулю. Это происходит на интервалах:

• (-∞, -4/7]
• [6/5, +∞)

Таким образом, окончательный ответ будет:

x ∈ (-∞, -4/7] ∪ [6/5, +∞)