Чтобы решить уравнение |x-1| + |x+7| = 8, нам нужно рассмотреть различные случаи, основанные на значениях x, которые могут изменить знак внутри модулей. Модули |x-1| и |x+7| меняют знак в точках x = 1 и x = -7 соответственно. Поэтому мы рассмотрим три интервала:

• x < -7
• -7 ≤ x < 1
• x ≥ 1

Теперь решим уравнение для каждого из этих случаев.

1. Случай 1: x < -7

В этом интервале оба выражения под модулем отрицательные, поэтому:

|x-1| = -(x-1) = -x + 1

|x+7| = -(x+7) = -x - 7

Подставляем в уравнение:

-x + 1 - x - 7 = 8

Упрощаем:

-2x - 6 = 8

-2x = 14

x = -7

Однако, x = -7 не подходит для этого случая, так как мы рассматриваем x < -7. Поэтому в этом случае решения нет.

2. Случай 2: -7 ≤ x < 1

В этом интервале |x-1| остается отрицательным, а |x+7| положительным:

|x-1| = -(x-1) = -x + 1

|x+7| = x + 7

Подставляем в уравнение:

-x + 1 + x + 7 = 8

Упрощаем:

1 + 7 = 8

8 = 8

Это верное равенство, значит, любое значение x из интервала -7 ≤ x < 1 является решением. Таким образом, в этом случае решения: x ∈ [-7, 1).

3. Случай 3: x ≥ 1

В этом интервале оба выражения под модулем положительные:

|x-1| = x - 1

|x+7| = x + 7

Подставляем в уравнение:

x - 1 + x + 7 = 8

Упрощаем:

2x + 6 = 8

2x = 2

x = 1

Это значение подходит для данного случая, так как x ≥ 1. Таким образом, в этом случае решение: x = 1.

Итак, окончательные решения:

• x ∈ [-7, 1)
• x = 1

Таким образом, полное множество решений уравнения |x-1| + |x+7| = 8: x ∈ [-7, 1].